Question

【題目】如圖，正方形紙片ABCD，P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，點(diǎn)D重合），將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，PG交DC于點(diǎn)H，折痕為EF，連接BP，BH．BH交EF于點(diǎn)M，連接PM．下列結(jié)論：①BE=PE；②EF=BP；③PB平分∠APG；④MH=MF；⑤BP=BM，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

①③利用正方形的性質(zhì)、翻折不變性即可解決問(wèn)題；
②構(gòu)造全等三角形即可解決問(wèn)題；
④利用特殊位置，判定結(jié)論即可；
⑤只要證明△PBM是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題；

如圖1，

根據(jù)翻折不變性可知：PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．故①③正確；
如圖1中，作FK⊥AB于K．設(shè)EF交BP于O．

∵∠FKB=∠KBC=∠C=90°，
∴四邊形BCFK是矩形，
∴KC=BC=AB，
∵EF⊥PB，
∴∠BOE=90°，
∵∠ABP+∠BEO=90°，∠BEO+∠EFK=90°，
∴∠ABP=∠EFK，∵∠A=∠EKF=90°，
∴△ABP≌△KFE（ASA），
∴EF=BP，故②正確，
如圖2，過(guò)B作BQ⊥PH，垂足為Q．

由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，
，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH（HL）
∴∠QBH=∠HBC，∠ABP=∠PBQ，
∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=∠ABC=45°，
∵M(jìn)P=MB，
∴△PBM是等腰直角三角形，
∴PB=BM，故⑤正確；
當(dāng)?shù)萈與A重合時(shí)，顯然MH＞MF，故④錯(cuò)誤，
故選：B．