Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）點(diǎn)P是線段BC下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC，PB．

①是否存在一點(diǎn)P，使△PBC的面積最大，若存在，請(qǐng)求出△PBC的最大面積；若不存在，試說(shuō)明理由．

②連結(jié)AC，AP，AP交BC于點(diǎn)F，當(dāng)∠CAP＝∠ABC時(shí)，求直線AP的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（4，0）；（2）①存在，見(jiàn)解析，面積的最大值為4，②.

【解析】

（1）令y=0，則x=1或-4，令x=0，則y=2，即可求解；

（2）①S△PBC=×PH×OB，即可求解；

②證明△ACF∽△BCA，求得：CF=，BF=BC-CF=，由BF2=（m-4）2+（m-2）2=（）2，即可求解．

（1）令y＝0，則x＝1或﹣4，令x＝0，則y＝2，

即點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣2）；

（2）①存在，理由：過(guò)點(diǎn)P作HP∥y軸交BC于點(diǎn)H，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y＝kx+b得：，解得：，

故直線BC的表達(dá)式為：y＝x﹣2，

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，）、H（x，x﹣2），

S△PBC＝×PH×OB＝×（x﹣2）×4＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S△PBC有最大值，

當(dāng)x＝2時(shí)，面積的最大值為4，此時(shí)點(diǎn)P（2，﹣3）；

②∠CAP＝∠ABC，∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△BCA，

∴AC2＝BCCF，其中AC＝，BC＝2，

故：CF＝，BF＝BC﹣CF＝，

設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m﹣2），

則：BF2＝（m﹣4）2+（m﹣2）2＝（）2，

解得：m＝1或7（舍去m＝7），

故點(diǎn)F坐標(biāo)（1，﹣），

將點(diǎn)A、F坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y＝kx+b，

同理可得：直線AF（或直線AP）的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣．