Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，平移一條拋物線，如果平移后的新拋物線經(jīng)過原拋物線頂點(diǎn)，且新拋物線的對稱軸是y軸，那么新拋物線稱為原拋物線的“影子拋物線”．

（1）已知原拋物線表達(dá)式是，求它的“影子拋物線”的表達(dá)式；

（2）已知原拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，0），且它的“影子拋物線”的表達(dá)式是，求原拋物線的表達(dá)式；

（3）小明研究后提出：“如果兩條不重合的拋物線交y軸于同一點(diǎn)，且它們有相同的“影子拋物線”，那么這兩條拋物線的頂點(diǎn)一定關(guān)于y軸對稱．”你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）結(jié)論成立，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)影子拋物線表達(dá)式是，先求出原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入，可求解；

（2）設(shè)原拋物線表達(dá)式是，用待定系數(shù)法可求，，即可求解；

（3）分別求出兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解．

解：（1）原拋物線表達(dá)式是

原拋物線頂點(diǎn)是，

設(shè)影子拋物線表達(dá)式是，

將代入，解得，

所以“影子拋物線”的表達(dá)式是；

（2）設(shè)原拋物線表達(dá)式是，

則原拋物線頂點(diǎn)是，

將代入，得①，

將代入，②，

由①、②解得，．

所以，原拋物線表達(dá)式是或；

（3）結(jié)論成立．

設(shè)影子拋物線表達(dá)式是．原拋物線于軸交點(diǎn)坐標(biāo)為

則兩條原拋物線可表示為與拋物線（其中、、、是常數(shù)，且，

由題意，可知兩個(gè)拋物線的頂點(diǎn)分別是、

將、分別代入，

得

消去得，

，

，，

、關(guān)于軸對稱．