Question

【題目】如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，使B點的對應(yīng)點D落在BC邊上，連接EB、EC，則下列結(jié)論：①∠DAC=∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③∠BED=30°；④ED=2AB．其中正確的是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，則可判斷為等邊三角形，所以則再計算出于是可對①進行判斷；接著證明為等邊三角形得到 加上，則根據(jù)線段垂直平分線的判定方法可對②進行判斷；然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得DE平分∠AEC，則則可對③進行判斷；接下來證明 則利用含的直角三角形三邊的關(guān)系得到 所以 則可對④進行判斷．

詳解：在Rt△ABC中,∵∠ACB=

∴

∵△ABC繞直角頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)到ADE的位置，

∴AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，

∴△ABD為等邊三角形，

∴

∴

∵

∴

∴∠DAC=∠DCA，所以①正確；

∵

∴△AEC為等邊三角形，

∴EA=EC，

而DA=DC，

∴ED為AC的垂直平分線，所以②正確；

∴DE平分∠AEC，

∴

∴ 所以③錯誤；

∵,

在Rt△AED中,∵

∴ED=2AD，

∴ED=2AB，所以④正確.

故選B.