如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)交x軸于點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0),交y軸于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo);(用a的代數(shù)式表示)
(2)直線y=x+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn),并且與x軸交于點(diǎn)D.
①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
②若四邊形CDAN是平行四邊形,且點(diǎn)N在拋物線上,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(______,______);
③設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P,使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),并且與直線CD相切?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)由于拋物線y=ax2+bx+c(a<0)經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0),則有:
a-b+c=0
9a+3b+c=0

解得
b=-2a
c=-3a
;
∴y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a;
∴M(1,-4a);

(2)①由(1)知:C(0,-3a);
∴直線y=x+d中,d=-3a,即y=x-3a;
∵直線y=x-3a經(jīng)過(guò)M(1,-4a),
則有:1-3a=-4a,a=-1;
∴拋物線的解析式為:y=-x2+2x+3;
②由①的拋物線知:C(0,3),M(1,4),對(duì)稱軸為x=1;
若四邊形CDAN是平行四邊形,則CNx軸,
∴C、N關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱,
即N(2,3);
③存在符合條件的P點(diǎn),且P(1,2
6
-4)
易知A(-1,0),B(3,0),M(1,4);
由①可得直線CM的解析式為y=x+3,則D(-3,0);
設(shè)拋物線的對(duì)稱軸x=1與x軸的交點(diǎn)為Q,⊙P與直線CD的切點(diǎn)為E,連接PE、PA;
根據(jù)圓和拋物線的對(duì)稱性知,圓心P必在拋物線的對(duì)稱軸上,可設(shè)PE=PA=m;
∵在Rt△DMQ中,DQ=MQ=4,
∴△MDQ是等腰Rt△,∠DMQ=45°;
在Rt△PME中,PE=m,∠EMP=∠DMQ=45°,則PM=
2
m;
在Rt△PAQ中,PA=m,AQ=
1
2
AB=2,則PQ=
m2-4
;
由于MQ=MP+PQ=4,即:
2
m+
m2-4
=4,
解得m=4
2
-2
3
;
2
m=8-2
6
,4-
2
m=2
6
-4;
即P(1,2
6
-4).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖長(zhǎng)為2的線段PQ在x的正半軸上,從P、Q作x軸的垂線與拋物線y=x2交于點(diǎn)P′、Q′.
(1)已知P的坐標(biāo)為(k,0),求直線OP′的函數(shù)解析式;
(2)若直線OP′把梯形P′PQQ′的面積二等分,求k的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知關(guān)于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求證:無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)時(shí),方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為整數(shù),且k為正整數(shù),求k值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為M,直線y=-2x+9與y軸交于點(diǎn)C,與直線OM交于點(diǎn)D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點(diǎn)在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點(diǎn)C)只有一個(gè)公共點(diǎn),求它的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的值或取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

利民商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品.現(xiàn)有如下信息:

請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)甲、乙兩種商品的進(jìn)貨單價(jià)各多少元?
(2)該商店平均每天賣(mài)出甲商品500件和乙商品300件.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),甲、乙兩種商品零售單價(jià)分別每降0.1元,這兩種商品每天可各多銷售100件.為了使每天獲取更大的利潤(rùn),商店決定把甲、乙兩種商品的零售單價(jià)都下降m元.在不考慮其他因素的條件下,當(dāng)m定為多少時(shí),才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤(rùn)最大?每天的最大利潤(rùn)是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商場(chǎng)將進(jìn)價(jià)為1800元的電冰箱以每臺(tái)2400元售出,平均每天能售出8臺(tái),為了配合國(guó)家“家電下鄉(xiāng)”政策的實(shí)施,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.調(diào)查表明:這種冰箱的售價(jià)每降價(jià)50元,平均每天就能多售出4臺(tái).
(1)設(shè)每臺(tái)冰箱降價(jià)x元,商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)為y元,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)自變量的取值范圍).
(2)商場(chǎng)想在這種冰箱的銷售中每天盈利8000元,同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠,每臺(tái)冰箱應(yīng)降價(jià)多少元?
(3)每臺(tái)冰箱降價(jià)多少元時(shí),商場(chǎng)每天銷售這種冰箱的利潤(rùn)最高?最高利潤(rùn)是多少元?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2-5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn),已知BCx軸,點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在y軸上,且AC=BC.
(1)求拋物線的對(duì)稱軸;
(2)求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線的解析式;
(3)若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn),是否存在△PAB是等腰三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo);不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合),過(guò)M點(diǎn)作MNBC交AC于點(diǎn)N.以MN為直徑作⊙O,并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN.令A(yù)M=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示△MNP的面積S;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),⊙O與直線BC相切;
(3)在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,記△MNP與梯形BCNM重合的面積為y,試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式,并求x為何值時(shí),y的值最大,最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

如圖,利用兩面夾角為135°且足夠長(zhǎng)的墻,圍成梯形圍欄ABCD,∠C=90°,新建墻BCD總長(zhǎng)為15m,則當(dāng)CD=______m時(shí),梯形圍欄的面積最大.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OABC,∠AOC=90°,ABOC,OC在x軸上,過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式為y=-
1
18
x2+
4
9
x+10

(1)求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如果在梯形OABC內(nèi)有一矩形MNPO,使M在y軸上,N在BC邊上,P在OC邊上,當(dāng)MN為多少時(shí),矩形MNPO的面積最大?最大面積是多少?
(3)若用一條直線將梯形OABC分為面積相等的兩部分,試說(shuō)明你的分法.

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同步練習(xí)冊(cè)答案