Question

點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD平分∠ABC，延長(zhǎng)AD交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，BE=ED．
（1）點(diǎn)D是否是△ABC的內(nèi)心？說(shuō)明理由；
（2）點(diǎn)E是否是△BDC的外心？說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心．
理由是：連接CE，
∵AD平分∠ABC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴弧BE=弧CE，
∴BE=EC，∠EBC=∠CAE=∠BAE，
∵BD=BE，
∴∠EDB=∠DBE，
即∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠EBC，
∴∠ABD=∠CBD，
即D是∠ABC和∠BAC的角平分線的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)D是△ABC的內(nèi)心．

（2）點(diǎn)E是△BDC的外心．
理由是：由（1）知：BE=CE=ED，
∴點(diǎn)E是△BDC的外心．
分析：（1）根據(jù)角平分線性質(zhì)求出BE=CE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)推出∠CBD=∠ABD，即可得到答案；
（2）根據(jù)BE=CE=DE即可推出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，三角形的外接圓與外心，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．