【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,BD為⊙O的直徑,BD與AC相交于點(diǎn)H,AC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E,且∠A=∠EBC.
(1)求證:BE是⊙O的切線;
(2)已知CG∥EB,且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G,若BGBA=48,F(xiàn)G= ,DF=2BF,求AH的值.
【答案】
(1)
證明:連接CD,
∵BD是直徑,
∴∠BCD=90°,即∠D+∠CBD=90°,
∵∠A=∠D,∠A=∠EBC,
∴∠CBD+∠EBC=90°,
∴BE⊥BD,
∴BE是⊙O切線.
(2)
解:∵CG∥EB,
∴∠BCG=∠EBC,
∴∠A=∠BCG,
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG,
∴ ,即BC2=BGBA=48,
∴BC=4 ,
∵CG∥EB,
∴CF⊥BD,
∴△BFC∽△BCD,
∴BC2=BFBD,
∵DF=2BF,
∴BF=4,
在RT△BCF中,CF= =4 ,
∴CG=CF+FG=5 ,
在RT△BFG中,BG= =3 ,
∵BGBA=48,
∴ 即AG=5 ,
∴CG=AG,
∴∠A=∠ACG=∠BCG,∠CFH=∠CFB=90°,
∴∠CHF=∠CBF,
∴CH=CB=4 ,
∵△ABC∽△CBG,
∴ ,
∴AC= ,
∴AH=AC﹣CH= .
【解析】(1)欲證明BE是⊙O的切線,只要證明∠EBD=90°.
。2)由△ABC∽△CBG,得 = 求出BC,再由△BFC∽△BCD,得BC2=BFBD求出BF,CF,CG,GB,再通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)CG=AG,進(jìn)而可以證明CH=CB,求出AC即可解決問(wèn)題.本題考查切線的判定、圓的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是巧妙利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形OABC的頂點(diǎn)O(0,0),B(2,2),若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每秒旋轉(zhuǎn)45°則第30秒時(shí),菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )
A.(1,﹣1)
B.(﹣1,﹣1)
C.( ,0)
D.(0,﹣ )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬,如圖所示,某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)C,測(cè)得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行20米到達(dá)B處,測(cè)得C在B北偏西45°的方向上,請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度.(參考數(shù)值:tan31°≈ ,sin31°≈ )
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列命題正確的個(gè)數(shù)是( )
①若代數(shù)式有意義,則x的取值范圍為x≤1且x≠0.
②我市生態(tài)旅游初步形成規(guī)模,2012年全年生態(tài)旅游收入為302 600 000元,保留三個(gè)有效數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為3.03×108元.
③若反比例函數(shù)(m為常數(shù)),當(dāng)x>0時(shí),y隨x增大而增大,則一次函數(shù)y=﹣2x+m的圖象一定不經(jīng)過(guò)第一象限.
④若函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則函數(shù)稱為偶函數(shù),下列三個(gè)函數(shù):y=3,y=2x+1,y=x2中偶函數(shù)的個(gè)數(shù)為2個(gè).
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,從一張腰長(zhǎng)為60cm,頂角為120°的等腰三角形鐵皮OAB中剪出一個(gè)最大的扇形OCD,用此剪下的扇形鐵皮圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面(不計(jì)損耗),則該圓錐的高為( 。
A.10cm
B.15cm
C.10 cm
D.20 cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣1,0),B(0,﹣ ),C(2,0),其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D
(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接PD,則 PB+PD的最小值為;
(3)M(x,t)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)
①若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A,B,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,則這樣的點(diǎn)N共有 個(gè);
②連接MA,MB,若∠AMB不小于60°,求t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的弦,過(guò)點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若∠A=∠D,CD=3,則圖中陰影部分的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示,若y<0,則x的取值范圍是( )
A.﹣1<x<4
B.x<﹣1或x>3
C.x<﹣1或x>4
D.﹣1<x<3
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