Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖像與軸交于兩點，與軸交于，對稱軸為直線，頂點為．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）經(jīng)過、兩點的直線交拋物線的對稱軸于點，點為直線上方拋物線上的一動點，當點在什么位置時，的面積最大？并求此時點的坐標及的最大面積；

（3）如圖，平移拋物線，使拋物線的頂點在射線上移動，點平移后的對應點為，點的對應點為點，連接、，是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；；（3）存在，，，，．

【解析】

（1）由對稱性求得A點坐標, 再分別將點的坐標代入二次函數(shù)的解析式,解方程組求出的值即可.

（2）由B，C兩點得到直線BC的函數(shù)解析式，從而得到直線BC與對稱軸的交點，過點作軸交于,設，則,用含m的式子分別表示出PQ，，得到,,進而轉化為二次函數(shù)的最值問題來解決即可.

（3）由題可得，，故可得的解析式為，設其中（），則由平移的規(guī)律得，又，根據(jù)平面上兩點間的距離公式分別表示出，，，若能為等腰三角形，則分三種情況：①若，②若，若，分別建立方程求解即可.

（1）解：由對稱性知點，

把，，代入得

解得

∴二次函數(shù)解析式為

（2）

解：由題可得為，

過作軸交于

設，則

∴

∴

即：

∵∴有最大值

當時，

此時，

（3）解：由題可得，，，為，

設其中（），

則，，

，

①若，則

得∴

②若，則

得或（舍）∴

③若，則

得或

∴，

綜上所述，存在，，，

使為等腰三角形