Question

16．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-C-B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）
（1）在AC上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PB？若存在，求出t的值；若不存在，說(shuō)明理由；
（2）若點(diǎn)P恰好在△ABC的角平分線上，請(qǐng)求出t的值，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB，從而分別表示出PC、BC、BP的長(zhǎng)，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)處時(shí)就是在角平分線上，然后再分點(diǎn)P在AC和∠ABC的角平分線的交點(diǎn)處和點(diǎn)P在BC和∠BAC的角平分線的交點(diǎn)處利用相似三角形列式求得t值即可．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA=PB，
此時(shí)PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，
PC²+CB²=PB²，
即：（4-2t）²+3²=（2t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴當(dāng)t=$\frac{25}{16}$時(shí)，PA=PB；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C或點(diǎn)B處時(shí)，一定在△ABC的角平分線上，
此時(shí)t=2或t=3.5秒；
當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上時(shí)，作PM⊥AB于點(diǎn)M，如圖2，
此時(shí)AP=2t，PC=PM=4-2t，
∵△APM∽△ABC，
∴AP：AB=PM：BC，
即：2t：5=（4-2t）：3，
解得：t=$\frac{5}{4}$；
當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí)，作PN⊥AB，如圖3，
此時(shí)BP=7-2t，PN=PC=（2t-4），
∵△BPN∽△BAC，
∴BP：BA=PN：AC，
即：（7-2t）：5=（2t-4）：4，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
綜上，當(dāng)t=2s或3.5s或$\frac{8}{3}$s或$\frac{5}{4}$s時(shí)，點(diǎn)P在△ABC的角平分線上．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)；本題有一定難度，特別是題目的第二問(wèn)，采用了分類討論的數(shù)學(xué)思想，特別是點(diǎn)P與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合時(shí)的情況很容易遺漏，應(yīng)該注意．