分析 (1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PB,從而分別表示出PC、BC、BP的長(zhǎng),利用勾股定理列出方程求解即可;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在頂點(diǎn)處時(shí)就是在角平分線上,然后再分點(diǎn)P在AC和∠ABC的角平分線的交點(diǎn)處和點(diǎn)P在BC和∠BAC的角平分線的交點(diǎn)處利用相似三角形列式求得t值即可.
解答 解:(1)如圖1,設(shè)存在點(diǎn)P,使得PA=PB,
此時(shí)PA=PB=2t,PC=4-2t,
在Rt△PCB中,
PC2+CB2=PB2,
即:(4-2t)2+32=(2t)2,
解得:t=2516,
∴當(dāng)t=2516時(shí),PA=PB;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C或點(diǎn)B處時(shí),一定在△ABC的角平分線上,
此時(shí)t=2或t=3.5秒;
當(dāng)點(diǎn)P在∠ABC的角平分線上時(shí),作PM⊥AB于點(diǎn)M,如圖2,
此時(shí)AP=2t,PC=PM=4-2t,
∵△APM∽△ABC,
∴AP:AB=PM:BC,
即:2t:5=(4-2t):3,
解得:t=54;
當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí),作PN⊥AB,如圖3,
此時(shí)BP=7-2t,PN=PC=(2t-4),
∵△BPN∽△BAC,
∴BP:BA=PN:AC,
即:(7-2t):5=(2t-4):4,
解得:t=83,
綜上,當(dāng)t=2s或3.5s或83s或54s時(shí),點(diǎn)P在△ABC的角平分線上.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì);本題有一定難度,特別是題目的第二問(wèn),采用了分類討論的數(shù)學(xué)思想,特別是點(diǎn)P與點(diǎn)C和點(diǎn)B重合時(shí)的情況很容易遺漏,應(yīng)該注意.
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