Question

學(xué)習(xí)了勾股定理以后，有同學(xué)提出“在直角三角形中，三邊滿足a²+b²=c²，或許其他的三角形三邊也有這樣的關(guān)系”．讓我們來做一個實驗!
（1）畫出任意一個銳角三角形，量出各邊的長度（精確到1毫米），較短的兩條邊長分別是a=______mm；b=______mm；較長的一條邊長c=______mm．比較=a²+b²______c²（填寫“＞”，“＜”，或“=”）；
（2）畫出任意的一個鈍角三角形，量出各邊的長度（精確到1毫米），較短的兩條邊長分別是a=______mm；b=______mm；較長的一條邊長c=______mm．比較a²+b²______c²（填寫“＞”，“＜”，或“=”）；
（3）根據(jù)以上的操作和結(jié)果，對這位同學(xué)提出的問題，你猜想的結(jié)論是：______，類比勾股定理的驗證方法，相信你能說明其能否成立的理由．

Answer 1

解：（1）較短的兩條邊長分別是a=6mm；b=8mm；較長的一條邊長c=9mm．比較=a²+b²＞c²；

（2）較短的兩條邊長分別是a=6mm；b=8mm；較長的一條邊長c=11mm．比較a²+b²＜c²；

（3）若△ABC是銳角三角形，則有a²+b²＞c²；
若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a²+b²＜c²．
當(dāng)△ABC是銳角三角形時，
理由：過點A作AD⊥BC，垂足為D，設(shè)CD為x，

則有BD=a-x．
根據(jù)勾股定理，得b²-x²=AD²=c²-（a-x）²，
即b²-x²=c²-a²+2ax-x²．
∴a²+b²=c²+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a²+b²＞c²．
當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，
理由：過C作CD⊥AB，交AB的延長線于D．

設(shè)BD為x，則有CD²=a²-x²，
根據(jù)勾股定理，得（c+x）²+a²-x²=b²，即a²+c²+2cx=b²．
∵c＞0，x＞0，
∴2cx＞0，
∴a²+c²＜b²．
分析：熟悉勾股數(shù)，然后根據(jù)大邊對大角，小邊對小角，確定第三邊的長，從而保證三角形的形狀．如取較小的兩邊是6，8，若是直角三角形，則第三邊應(yīng)是10．故要保證它是銳角三角形，只需取9．要保證它是鈍角三角形，只需取11．
證明的時候，充分運(yùn)用勾股定理結(jié)合完全平方公式即可分析證明．
點評：本題考查了勾股定理的證明，在給定三角形的三邊的時候，還要注意三角形的三邊關(guān)系．注意勾股定理的熟練運(yùn)用以及完全平方公式的靈活變形．