Question

已知⊙O₁與⊙O₂交于A、B，CD、EF是兩圓外公切線，切⊙O₁于C、E，切⊙O₂于D、F，過(guò)AB的直線交CD于G，交EF于H，求證：GA=HB．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，根據(jù)兩圓相切的性質(zhì)得CD=EF，再根據(jù)切割線定理得到GC²=GA•GB，GD²=GA•GB，則GC=GD，同理可得HE=HF，所以CG=HE，于是得到GA•AB=HB•HA，然后利用因式分解的方法可得到GA=HB．

解答：證明：如圖，
∵CD、EF是兩圓外公切線，
∴CD=EF，
∵GC²=GA•GB，GD²=GA•GB，
∴GC=GD，
同理可得HE=HF，
∴CG=HE，
∴GA•AB=HB•HA，
即GA（GA+AB）-HB（HB+AB）=0，
∴（GA-GB）（GA+GB+AB）=0，
∴GA=HB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，也考查了兩圓相切的性質(zhì)和切割線定理．