Question

如圖，直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線y=3x+3交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，又由過A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C（3，0），利用兩點(diǎn)式法即可求得拋物線的解析式；
（2）分別從AB=BQ，AQ=BQ，AB=AQ三方面去分析，注意抓住線段的求解方法，借助于方程求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時，y=3，
當(dāng)y=0時，x=-1，
∴A（-1，0），B（0，3），
∵C（3，0），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3），
∴3=a×1×（-3），
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）存在．
①∵拋物線的對稱軸為：直線x=

-1+3

2

=1，
∴如圖對稱軸與x軸的交點(diǎn)即為Q₁，
∵OA=OQ₁，BO⊥AQ₁，
∴當(dāng)Q₁B=AB時，設(shè)Q（1，q），
∴1+（q-3）²=10，
∴q=0，或q=6，
∴Q（1，0）或Q（1，6）（在直線AB上，舍去）．
當(dāng)Q₂A=Q₂B時，設(shè)Q₂的坐標(biāo)為（1，m），∴2²+m²=1²+（3-m）²，
∴m=1，
∴Q₂（1，1）；
當(dāng)Q₃A=AB時，設(shè)Q₃（1，n），
∴2²+n²=1²+3²，
∴n=±

6

，
∴Q₃（1，

6

），Q₄（1，-

6

）．
∴符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q₁（1，0），Q₂（1，1），Q₃（1，

6

），Q₄（1，-

6

）．

點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式與等腰三角形的性質(zhì)等知識．此題難度適中，注意分類討論思想，方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵，還要注意別漏解．