Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，分別以邊AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，連接GD，AG，BD. （提示：正方形的四條邊相等，四個角均為直角，可直接運(yùn)用。）

（1）如圖1，求證：AG＝BD.

（2）如圖2，試說明：S△ABC＝S△CDG.

（3）園林小路，曲徑通幽，如圖3所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成，已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地　 　平方米．（不用寫過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）a+2b

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質(zhì)就可以得出△ACG≌△DCB，就可以得出結(jié)論；

（2）延長DC交GF于H，證明△BMC≌△GNC，就可以得出BM=GN，就可以得出結(jié)論．

（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米．

試題解析：(1)∵四邊形ABHI、四邊形BCGF和四邊形CAED都是正方形，∴AB=BH=HI=AI，BC=CG=GF=BF，AE=DE=CD=AC，∠H=∠I=∠E=∠F=∠IAB=∠ABH=∠FBC=∠BCG=∠FGC=∠BAC=∠ACD=90°.

∴∠ACD+∠ACB=∠BCG+∠ACB，

∴∠DCB=∠ACG.

在△ACG和△DCB中，

，

∴△ACG≌△DCB(SAS)，

∴AG=BD；

(2)如圖，作BM⊥AC于M，GN⊥DC的延長于點(diǎn)N.

∴∠BMC=∠N=90°

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3.

在△BMC和△GNC中，

，

∴△BMC≌△GNC(AAS)，

∴BM=GN，

∴ACBM=DCGN，

∵S△ABC=ACBM，S△DCG=DCGN，

∴S△ABC=S△CDG.

（3）由（2）知外圈的所有三角形的面積之和等于內(nèi)圈的所有三角形的面積之和。

∴這條小路的面積為(a+2b)平方米。