【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-3,0),B(0, ),點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形.
(1)求點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)并用尺規(guī)作圖確定兩點(diǎn)位置(保留作圖痕跡)
(2)若半徑為1的⊙P從點(diǎn)A出發(fā),沿A—D—B—C以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速移動(dòng),同時(shí)⊙P的半徑以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)的速度增加,運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)
①t為何值時(shí),⊙P與y軸相切?
②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中⊙P與y軸有公共點(diǎn)的時(shí)間共有幾秒?簡(jiǎn)述過(guò)程.
(3)若線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,線段AB掃過(guò)的面積是多少?
【答案】(1)C(6,3), D(3,0) ;(2)① , ,, ;②;(3)
【解析】試題分析:(1)由題可知:AD=AB=6,∠DAB=60°,再根據(jù)條件就可求出OB及BC的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo).以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)D;以點(diǎn)D為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,以點(diǎn)B為圓心,AD為半徑畫(huà)弧,兩弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.
(2)①分點(diǎn)P在AO、OD、BD、BC上四種情況討論,然后在直角三角形中運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值建立方程,就可解決問(wèn)題;
②只需求出三個(gè)臨界位置(點(diǎn)P分別在AO、OD、BD、BC上,且⊙P與y軸相切)對(duì)應(yīng)的t的值,就可解決問(wèn)題.
(3)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H,過(guò)點(diǎn)O作OH′⊥A′B′,垂足為H′,采用割補(bǔ)法將S陰影轉(zhuǎn)化為S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′就可解決問(wèn)題.
試題解析:
(1)由題可知:AD=AB=6,∠DAB=60°.
∵∠AOB=90°,∴AO=3,OB=3
∴OD=AD-OA=3.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD=6.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,3 ),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).
作法:①以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)D;
②以點(diǎn)D為圓心,AB為半徑畫(huà);以點(diǎn)B為圓心,AD為半徑畫(huà)弧,兩弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.
如圖1所示.
(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí),如圖所示:
設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙P與y軸相切,
則AP=4t
∵AP+OP=AO
∴4t+1+0.5t=3,
∴t= ;
當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí),如圖所示:
設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙P與y軸相切,
OP=4t-3,
∴4t-3=1+0.5t,
∴t= ,
當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí),作PE OB,如圖所示:
設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙P與y軸相切,
由PD=4t-6,
∵BD= ,BP=BD-DP,
∴BP=6-(4t-6)=12-4t,
∵cos∠ODB= , ∠ODB=∠EPB
∴cos∠EPB=
∴t=2;
當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),如圖所示:
設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙P與y軸相切,
PB=4t-12
∴4t-12=1+0.5t
∴t= ;
∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 、 、、 時(shí),⊙P與y軸相切;
②當(dāng)圓P在AO上與y軸相切至圓P在OD上與y軸相切時(shí),圓與y軸有交點(diǎn),則時(shí)間為: ,當(dāng)圓P在BD上與y軸相切至圓P在BC上與y軸相切時(shí),圓與y軸有交點(diǎn),則時(shí)間為: ,所以總時(shí)間為 ;
(3)若線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,線段AB掃過(guò)的圖形如圖8所示,
過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H,過(guò)點(diǎn)O作OH′⊥A′B′,垂足為H′,如圖所示,
則有OH=OAsin∠HAO=3× ,
同理可得:OH′=,
∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR= ,
S扇形OBB′= ,
S扇形OHH′=
S△OHB=S△OH′B′
∴S陰影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′
=
=
∴線段AB掃過(guò)的面積是。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x的二次函數(shù),其中為銳角,則:
① 當(dāng)為30°時(shí),函數(shù)有最小值-;② 函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸必有三個(gè)交點(diǎn). ③ 當(dāng)<60°時(shí),函數(shù)在x >1時(shí),y隨 x的增大而增大;④ 無(wú)論銳角怎么變化,函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)。其中正確的結(jié)論有( )
A. ①③④ B. ①④ C. ②③ D. ①②④
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【題目】近似數(shù)1.30是由數(shù)x四舍五入得到的數(shù),則數(shù)x的取值范圍是( )
A.1.25≤x<1.35
B.1.295≤x<1.305
C.1.25<x<1.35
D.1.295<x<1.305
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,1),AB平行于x軸,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )
A.(2,5)
B.(3,1)
C.(﹣1,4)
D.(3,5)
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【題目】用不等號(hào)填空:
(1)-2________5;(2)|m|(m≠0)________0;(3)a2+1________0.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中.矩形OABC的對(duì)角線OB,AC相交于點(diǎn)D,且BE∥AC,AE∥OB.如果OA=3,OC=2,則經(jīng)過(guò)點(diǎn)E的反比例函數(shù)解析式為( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A. x2+x2=x4 B. x2+x3=2x5 C. x2y-2x2y=-x2y D. 3x-2x=1
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【題目】把二次函數(shù)y=x2﹣2x+3配方成y=(x﹣m)2+k的形式,以下結(jié)果正確的是( 。
A. y=﹣(x﹣1)2+4B. y=(x﹣1)2+2
C. y=(x+1)2+2D. y=(x﹣2)2+3
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