【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-3,0),B(0, ),點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),C在第一象限內(nèi)且四邊形ABCD是平行四邊形.

(1)求點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)并用尺規(guī)作圖確定兩點(diǎn)位置(保留作圖痕跡)

(2)若半徑為1的⊙P從點(diǎn)A出發(fā),沿ADBC以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)的速度勻速移動(dòng),同時(shí)⊙P的半徑以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)的速度增加,運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)運(yùn)動(dòng)停止,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)

t為何值時(shí),⊙Py軸相切?

②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中⊙Py軸有公共點(diǎn)的時(shí)間共有幾秒?簡(jiǎn)述過(guò)程.

(3)若線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,線段AB掃過(guò)的面積是多少?

【答案】(1)C(6,3), D(3,0) ;(2)① , ,, ;②;(3)

【解析】試題分析:1)由題可知:AD=AB=6,DAB=60°,再根據(jù)條件就可求出OBBC的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo).以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)D;以點(diǎn)D為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,以點(diǎn)B為圓心,AD為半徑畫(huà)弧,兩弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)C
2①分點(diǎn)PAOOD、BDBC上四種情況討論,然后在直角三角形中運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值建立方程,就可解決問(wèn)題;
②只需求出三個(gè)臨界位置(點(diǎn)P分別在AO、OD、BD、BC上,且⊙Py軸相切)對(duì)應(yīng)的t的值,就可解決問(wèn)題.
3)過(guò)點(diǎn)OOHAB,垂足為H,過(guò)點(diǎn)OOH′A′B′,垂足為H′,采用割補(bǔ)法將S陰影轉(zhuǎn)化為S弓形AR+SOHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-SOH′B′就可解決問(wèn)題.

試題解析:

(1)由題可知:AD=AB=6,∠DAB=60°.
∵∠AOB=90°,∴AO=3,OB=3
∴OD=AD-OA=3.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD=6.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,3 ),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,0).
作法:①以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑畫(huà)弧,與x軸交點(diǎn)即為點(diǎn)D;
②以點(diǎn)D為圓心,AB為半徑畫(huà);以點(diǎn)B為圓心,AD為半徑畫(huà)弧,兩弧的交點(diǎn)即為點(diǎn)C.
如圖1所示.

(2)①當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí),如圖所示:

設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙Py軸相切,

則AP=4t

∵AP+OP=AO

∴4t+1+0.5t=3,

∴t= ;

當(dāng)點(diǎn)P在OD上時(shí),如圖所示:

設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙Py軸相切,

OP=4t-3,

∴4t-3=1+0.5t,

∴t= ,

當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí),作PE OB,如圖所示:

設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙Py軸相切,

由PD=4t-6,

∵BD= ,BP=BD-DP,

∴BP=6-(4t-6)=12-4t,

∵cos∠ODB= , ∠ODB=∠EPB

∴cos∠EPB=

∴t=2;

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí),如圖所示:

設(shè)時(shí)間為t,則r=1+0.5t,此時(shí)⊙Py軸相切,

PB=4t-12

∴4t-12=1+0.5t

∴t= ;

∴當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 、 時(shí),⊙Py軸相切;

②當(dāng)圓P在AO上與y軸相切至圓P在OD上與y軸相切時(shí),圓與y軸有交點(diǎn),則時(shí)間為: ,當(dāng)圓P在BD上與y軸相切至圓P在BC上與y軸相切時(shí),圓與y軸有交點(diǎn),則時(shí)間為: ,所以總時(shí)間為 ;

3若線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,線段AB掃過(guò)的圖形如圖8所示,

過(guò)點(diǎn)OOHAB,垂足為H,過(guò)點(diǎn)OOH′AB′,垂足為H′,如圖所示,
則有OH=OAsinHAO=3×

同理可得:OH′=,

∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR= ,

S扇形OBB′= ,

S扇形OHH′=

S△OHB=S△OH′B′
∴S陰影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′

∴線段AB掃過(guò)的面積是。

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