Question

（本題10分） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線與y軸交于點C，與x軸交于點B，拋物線經過B、C兩點，與x軸的正半軸交于另一點A，且OA ：OC=2 ：7．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點D為線段CB上，點P在對稱軸的右側拋物線上，PD=PB，當tan∠PDB＝２，求P點的坐標；

（3）在（2）的條件下，點Q（7，m）在第四象限內，點R在對稱軸的右側拋物線上，若以點P、D、Q、R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q、R的坐標．

Answer 1

（1） y＝-x２＋x-7 ；（2）P（8，-3）；

（3）R（10，-12）,Q（7，-11）或R（6，2），Q（7，-7）

【解析】

試題分析：（1）有直線解析式可以求出C點的坐標，再利用OA ：OC=2 ：7．求出A的坐標.最后把A、C代入拋物線解析式求出即可.

（2）先求出B的坐標可得∠OCB=∠OBC=45°，又過P作PE⊥BC于點E，所以∠CFG=∠OCB==45°就得到線段EF、BF、EP的數量關系；又tan∠PDB＝２可以得到線段EP、DE、PD的 數量關系，然后設出P、F的坐標利用他們的縱坐標相等即可求出點的坐標；

（3）若以點P、D、Q、R為頂點的四邊形為平行四邊形有兩種情況：線段PD有可能是邊也有可能是對角線.

當PD是邊時 ，即DP∥QR時， ∵B（7，0），Q（7，n） ∴BQ∥y軸

過P作PN∥BQ，過D作DN⊥BQ交PN于點N，過R作RM⊥BQ于點M. 設PD交BQ于點T，DN交BM于點I

即可證明△RMQ≌△DNP，再求出D點的坐標，設R點的橫坐標為t，∵RM=DN，∴t-7=8-5解得t=10，再把t=10帶入拋物線即可求出R、Q；當PD是對角線時 ，同理求出.

試題解析：（1）∵直線y=kx-7與y軸的負半軸交于點C ∴C（0，-7） ∴OC=7

∵拋物線y=ax2+bx+14a經過點C，∴14a=-7，∴a =- ∴y＝-x２＋bx-7

∵OA ：OC=2 ：7． ∴OA=2，∴A（2，0） ∵拋物線y＝-x２＋bx-7經過點A

∴b= ∴拋物線的解析式為y＝-x２＋x-7

（2）如圖1，∵拋物線y＝-x２＋x-7經過B點， 令y=0解得x=7或x=2（舍） ∴B（7，0）

∴ OB=7∴OC=OB∴∠OCB=∠OBC=45°

過點P作PF⊥x軸于點G，交CB延長線于點F，

則PF∥y軸，∴∠CFG=∠OCB==45°

∴BF=GF

過P作PE⊥BC于點E，

∵PD=PB

∴∠PBD=∠PDB

∴tan∠PBD=tan∠PDB=2

∴PE=2BE

∵EF=PE ∴BF=BE

∴PF=PE=2BE=2BF=4GF，

∴PG=3GF

∵直線y=kx-7過B點 ∴ k=1 ∴y=x-7

設F（），則P（）

因為點P在拋物線y＝-x２＋x-7上，

所以，

解得m=7（舍）或m=8

∴P（8，-3）

如圖2,當DP∥QR時，即四邊形DQRP是平行四邊形 ∵B（7，0），Q（7，n） ∴BQ∥y軸

過P作PN∥BQ，過D作DN⊥BQ交PN于點N，

過R作RM⊥BQ于點M.

設PD交BQ于點T，DN交BM于點I

∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM, ∵∠DTB=∠PTQ

∴∠DPN=∠RQM

∵四邊形DPRQ是平行四邊形

∴DP=RQ

∵∠RMQ=∠DNP，∴△RMQ≌△DNP

∴RM=DN，MQ=PN

由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=BF=

∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2 ∴D（5，-2）

設R點的橫坐標為t，∵RM=DN，∴t-7=8-5

解得t=10

∵點R在拋物線y＝-x２＋x-7 上，

∴當t=10時 ，

∴R（10,-12）

∵MQ=PN

∴3-2=-12-n，∴n=-11

∴R（10，-12）,Q（7，-11）

如圖3，當DR∥QP時，即四邊形DQPR是平行四邊形

同理可求得R（6，2），Q（7，-7）

考點：求函數解析式，平行四邊形的性質應用，函數的性質的應用.