Question

（2012•大豐市二模）已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過O（0，0），A（4，0），B（3，

3

）三點，連接AB，過點B作BC∥x軸交拋物線于點C．動點E、F分別從O、A兩點同時出發(fā)，其中點E沿線段OA以每秒1個單位長度的速度向A點運動，點F沿折線A→B→C以每秒1個單位長度的速度向C點運動．設(shè)動點運動的時間為t（秒）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）記△EFA的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值，指出此時△EFA的形狀；
（3）是否存在這樣的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此時E、F兩點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將三點的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求解即可得出答案．
（2）過點B作BM⊥x軸于M構(gòu)建Rt△ABM，由點B的坐標(biāo)可以求得BM=

3

，OM=3，由點A的坐標(biāo)可以求得OA=4，根據(jù)圖形可知AM=1，在該三角形中利用勾股定理可以求得AB=2，所以根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可以推知∠BAM=60°；最后根據(jù)t的不同取值范圍進(jìn)行分類討論，并求得相應(yīng)的S的值，通過比較即可求得S的最大值；
（3）需要分類討論：①當(dāng)0≤t≤2時，若∠EFA=90°，此時∠FEA=30°，在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得t=

4

3

，據(jù)此可以求得相應(yīng)的電E、F的坐標(biāo)；
②當(dāng)∠FEA=90°時，此時∠EFA=30°，在直角三角形中根據(jù)三角函數(shù)的定義可以求得t=

8

3

，故這種情況不存在；
③當(dāng)2＜t≤4時，有t-2+t=3，即t=2.5，據(jù)此可以求得相應(yīng)的電E、F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

c=0 16a+4b+c=0 9a+3b+c= 3

，
解得：

a=- 3 3 b= 4 3 3 c=0

，
故函數(shù)解析式為：y=-

3

3

x2+

4 3

3

x；

（2）過點B作BM⊥x軸于M，
則BM=

3

，OM=3，
∵OA=4，
∴AM=1，AB=

AM2+BM2

=2，
∵AM=

1

2

AB，
∴∠BAM=60°，
當(dāng)0＜t≤2時，AF=t，過點F作FH⊥x軸，
∵FH=AFsin60°=

3

2

t，s=

1

2

(4-t)×

3

2

t=-

3

4

t2+

3

t，
當(dāng)2＜t≤4時，如圖，s=

1

2

(4-t)×

3

=-

3

2

t+2

3

，
當(dāng)0＜t≤2時，當(dāng)t=-

3

2×(- 3 4 )

=2時，s最大值=

3

，
∵當(dāng)2＜t≤4時，s＜

3

∴當(dāng)t=2時，s最大值=

3

，
此時AE=AF=2，
又∵∠EAF=60°．
∴△AEF為等邊三角形．

（3）當(dāng)0≤t≤2時，
∵若∠EFA=90°，此時∠FEA=30°，
∴EA=2AF，4-t=2t，
∴t=

4

3

．
此時E(

4

3

，0)，F(xiàn)(

10

3

，

2 3

3

)
當(dāng)∠FEA=90°時，此時∠EFA=30°，
∴2EA=AF，
∴t=2（4-t）
∴t=

8

3

＞2，
∴這種情況不存在．
當(dāng)2＜t≤4時，有t-2+t=3
∴t=2.5
E（2.5，0），F(xiàn)（2.5，

3

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題．解答該題時，采用了“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，以防漏解．