Question

【題目】如圖，已知直線與坐標(biāo)軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，并且，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），過(guò)點(diǎn)作軸，交于．

（1）求所在直線的解析式；

（2）若軸于，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)用含的代數(shù)式表示與的長(zhǎng)；

（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使得為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，或，或，．

【解析】

（1）由直線可求得、坐標(biāo)，再結(jié)合，則可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線的解析式；

（2）根據(jù)直線解析式可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可表示出的長(zhǎng)，由軸則可得出點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入直線解析式可求得點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可表示出的長(zhǎng)；

（3）設(shè)，當(dāng)時(shí)，則有，則可得到關(guān)于x的方程，可求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，則有，可求得點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，過(guò)作，由等腰直角三角形的性質(zhì)可知，可求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)坐標(biāo)．

解：

（1）在中，令可得，令可求得，

，，

，，

，

，即，解得，

，

設(shè)直線解析式為，

，解得，

直線解析式為；

（2）軸，且，

點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

在中，令，可得，

，

軸，

點(diǎn)縱坐標(biāo)為，

在中，令，可得，解得，

在線段上，

；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為，

為等腰直角三角形，

有、和三種情況，

①當(dāng)時(shí)，則有，

由（2）可得，，

，解得，

，；

②當(dāng)時(shí)，則有，

在中，令可得，

，

在中，令，可得，解得，

，

，解得，

，；

③當(dāng)時(shí)，如圖，過(guò)作于點(diǎn)，則，

由（2）可知，，

，解得，

，，

，

，；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，或，或，．