Question

如圖，AD是△ABC的高，作∠DCE=∠ACD，交AD的延長線于點E，點F是點C關于直線AE的對稱點，連接AF．
（1）求證：CE=AF；
（2）在線段AB上取一點N，使∠ENA=∠ACE，EN交BC于點M，連接AM．請你判斷∠B與∠MAF的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，
∴△ACE為等腰三角形，
∴AC=CE，
又∵點F是點C關于AE的對稱點，
∴AF=AC，
∴AF=CE；

（2）解：∠B=∠MAF．理由如下：
∵AC=CE，∠DCE=∠ACD，
∴AD=DE，
又∵AD是△ABC的高，
∴DC垂直平分AE，
∴AM=ME，
∴∠1=∠2，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵AC=AF，
∴∠4=∠ACD，
∵∠ENA=∠ACE，∠DCE=∠ACD=∠ACE，
∴∠ACD=∠ENA，
∴∠4=∠ENA，
∵∠4=∠1+∠MAF，∠ENA=∠3+∠B，
∴∠B=∠MAF．
分析：（1）由于∠ADC=∠EDC=90°，∠DCE=∠ACD，根據(jù)等腰三角形的判定方法得到△ACE為等腰三角形，則AC=CE，由點F是點C關于AE的對稱點，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AD垂直平分FC，則AF=AC，則AF=CE；
（2）由（1）得到CD垂直平分AE，則AM=ME，得到∠1=∠2，對頂角相等得到∠2=∠3，則∠1=∠3，由AC=AF得∠4=∠ACD，根據(jù)∠ENA=∠ACE，∠DCE=∠ACD=∠ACE，∠ACD=∠ENA，于是有∠4=∠ENA，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)有∠4=∠1+∠MAF，∠ENA=∠3+∠B，即可得到∠B=∠MAF．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對應相等，且它們所夾的邊相等，那么這兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)以及對稱的性質(zhì)．