Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4cm．動(dòng)點(diǎn)E在射線BC上勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．連接AE，并將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至AF，連接BF．

（1）試說(shuō)明無(wú)論t為何值，△ABF的面積始終為定值，并求出該定值；

（2）如圖2，連接EF，BD，交于點(diǎn)H，BD與AE交于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時(shí)，△HEG為直角三角形？

（3）如圖3、當(dāng)F、B、D三點(diǎn)共線時(shí)，求tan∠FEB的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)∠HGE＝90°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，此時(shí)t＝4；②當(dāng)∠GHE＝90°時(shí)，t＝2；（3）

【解析】

（1）由SAS證明△ABF≌△ADE，由AD∥BC得出動(dòng)點(diǎn)E到AD的距離始終不變，得出S△ADE是個(gè)定值，由三角形面積公式即可得出結(jié)果；

（2）由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出∠AEF＝30°，

①當(dāng)∠HGE＝90°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，此時(shí)t＝4，

②當(dāng)∠GHE＝90°時(shí)，證出AE⊥BC，在Rt△ABE中，AB＝4cm，∠ABE＝60°，由直角三角形的性質(zhì)得出BE＝AB＝2cm，此時(shí)t＝2；

（3）證出∠AFB＝∠FEB，連接AC交BD于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)得出∠AOB＝90°，在Rt△ABO中，AB＝4，∠ABO＝30°，由直角三角形的性質(zhì)得出AO＝2，BO＝2，求出FB＝4，得出FO＝FB+BO＝6，由三角函數(shù)定義即可得出結(jié)果．

（1）證明：∵∠BAD＝∠EAF＝120°，

∴∠BAD﹣∠BAE＝∠EAF﹣∠BAE，

∴∠FAB＝∠EAD；

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，

在△ABF與△ADE中，，

∴△ABF≌△ADE（SAS），

∵AD∥BC，

∴動(dòng)點(diǎn)E到AD的距離始終不變，

∴S△ADE是個(gè)定值，

∴S△ABF＝S△ADE＝×4×4×sin60°＝×4×2＝4（cm2）

（2）解：∵AE＝AF，∠EAF＝120°，

∴∠AEF＝30°，

①當(dāng)∠HGE＝90°時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，

此時(shí)t＝4，

②當(dāng)∠GHE＝90°時(shí)，

∵∠AEF＝30°，

∴∠HGE＝60°，

∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，

∴∠GBE＝30°，

∴∠GEB＝90°，

即AE⊥BC，

在Rt△ABE中，AB＝4cm，∠ABE＝60°，

∴BE＝AB＝2cm，

此時(shí)t＝2；

（3）解：∵AF＝AE，∠EAF＝120°，

∴∠BFE+∠AFB＝30°，

∵∠FBE＝150°，

∴∠BFE+∠FEB＝30°，

∴∠AFB＝∠FEB，

連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖3所示：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，

∴∠AOB＝90°，

在Rt△ABO中，AB＝4，∠ABO＝30°，

∴AO＝AB＝2，BO＝2，

∴FB×AO＝4，

∴FB＝4，

∴FO＝FB+BO＝6，

∴tan∠FEB＝tan∠AFB＝．