Question

已知：Rt△ABC的三邊長均為整數，點A（4，0），B（0，3）．若點C在第一象限內且在反比例函數y=

k

x

的圖象上，則k的值為

12，

2268

25

，

2688

25

，

6912

625

．

Answer 1

分析：如果求出了C點的坐標，那么只需將C點的坐標代入反比例函數的解析式y=

k

x

，即可求出k的值．由于AB=5，所以當Rt△ABC的三邊長均為整數時，分AB為斜邊和AB為直角邊進行討論：①如果AB=5為斜邊，那么兩條直角邊分別為3，4．當AC=3時，易求C（4，3）；當BC=3時，根據直角三角形的性質及三角函數的定義，可求出C（

72

25

，

96

25

）；②如果AB=5為直角邊，那么另外兩條邊分別為12，13．當AC=12時，根據相似三角形的判定與性質可求C（

56

5

，

48

5

）；當BC=12時，根據相似三角形的判定與性質可求C（

36

5

，

63

5

）．

解答：解：∵A（4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∵∠AOB=90°，
∴AB=5．
分兩種情況：
①如果AB=5為斜邊，那么兩條直角邊分別為3，4．
當AC=3時，則BC=4，C₁點坐標為（4，3），
所以k=4×3=12；
當BC=3時，設AC₂與BC₁交于點P，過點C₂作C₂D⊥BC₁于D．
由AAS易證△BPC₂≌△APC₁，則BP=AP，PC₂=PC₁．
設PC₁=x，則AP=BP=4-x，
在△APC₁中，由勾股定理，
得x²+3²=（4-x）²，解得x=

7

8

．
則AP=BP=

25

8

，
∴BD=BC₂•cos∠C₂BD=BC₂•cos∠C₁AP=3×

3

25 8

=

72

25

，C₂D=BC₂•sin∠C₂BD=BC₂•sin∠C₁AP=3×

7 8

25 8

=

21

25

，
∴OB+C₂D=3+

21

25

=

96

25

，
∴C₂點坐標為（

72

25

，

96

25

），
∴k=

72

25

×

96

25

=

6912

625

；
②如果AB=5為直角邊，那么另外兩條邊分別為12，13．
當AC=12時，∠BAC=90°．過點C₃作C₃D⊥x軸于D．
∵∠C₃DA=∠AOB=90°，∠C₃AD=∠ABO=90°-∠OAB，
∴△C₃DA∽△AOB，
∴C₃D：AO=DA：OB=C₃A：AB，
即C₃D：4=DA：3=12：5，
∴C₃D=

48

5

，DA=

36

5

，
∴OD=OA+AD=4+

36

5

=

56

5

，
∴C₃點坐標（

56

5

，

48

5

），
∴k=

56

5

×

48

5

=

2688

25

；
當BC=12時，∠ABC=90°．過點C₄作C₄D⊥y軸于D．
∵∠C₄DB=∠BOA=90°，∠C₄BD=∠OAB=90°-∠ABO，
∴△C₄DB∽△BOA，
∴C₄D：BO=DB：OA=C₄B：BA，
即C₄D：3=DB：4=12：5，
∴C₄D=

36

5

，DB=

48

5

，
∴OD=OB+BD=3+

48

5

=

63

5

，
∴C₄點坐標（

36

5

，

63

5

），
∴k=

36

5

×

63

5

=

2268

25

．
綜上可知，k的值為12，

2268

25

，

2688

25

，

6912

625

．
故答案為：12，

2268

25

，

2688

25

，

6912

625

．

點評：本題考查了直角三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，綜合性較強，熟記常見的勾股數及將Rt△ABC分AB為斜邊和AB為直角邊進行討論是解題的關鍵．