Question

已知關于x的方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0．
（1）求證：無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根；
（2）若關于x的二次函數(shù)y=mx²-（3m-1）x+2m-2的圖象與x軸兩交點間的距離為2時，求拋物線的解析式；
（3）在直角坐標系xoy中，畫出（2）中的函數(shù)圖象，結合圖象回答問題：當直線y=x+b與（2）中的函數(shù)圖象只有兩個交點時，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題中，二次項系數(shù)m的值不確定，分為m=0，m≠0兩種情況，分別證明方程有實數(shù)根；
（2）設拋物線與x軸兩交點的橫坐標為x₁，x₂，則兩交點之間距離為|x₁-x₂|=2，再與根與系數(shù)關系的等式結合變形，可求m的值，從而確定拋物線的解析式；
（3）分三種情況：只與拋物線y₁有兩個交點，只與拋物線y₂有兩個交點，直線過拋物線y₁、y₂的交點，觀察圖象，分別求出b的取值范圍．

解答：解：（1）分兩種情況討論．
①當m=0時，方程為x-2=0，x=2．
∴m=0時，方程有實數(shù)根．
②當m≠0時，則一元二次方程的根的判別式
△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）
=9m²-6m+1-8m²+8m=m²+2m+1
=（m+1）²≥0，
∴m≠0時，方程有實數(shù)根．
故無論m取任何實數(shù)時，方程恒有實數(shù)根．
綜合①②可知，m取任何實數(shù)，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有實數(shù)根；

（2）設x₁，x₂為拋物線y=mx²-（3m-1）x+2m-2與x軸交點的橫坐標，
則x₁+x₂=

3m-1

m

，x₁x₂=

2m-2

m

．
由|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9m2-6m+1 m2 - 8m2-8m m2

=

m2+2m+1 m2

=

(m+1)2 m2

=|

m+1

m

|．
由|x₁-x₂|=2，得|

m+1

m

|=2，
∴

m+1

m

=2或

m+1

m

=-2．
∴m=1或m=-

1

3

．
∴所求拋物線的解析式為y₁=x²-2x，
y₂=-

1

3

（x-2）（x-4）．
其圖象如右圖所示：

（3）在（2）的條件下y=x+b與拋物線
y₁，y₂組成的圖象只有兩個交點，結合圖象求b的取值范圍．

y1=x2-2x y=x+b

，
當y₁=y時，得x²-3x-b=0，有△=9+4b=0得b=-

9

4

．
同理

y2=- 1 3 x2+2x- 8 3 y=x+b

，△=9-4（8+3b）=0，得b=-

23

12

．
觀察圖象可知，
當b＞-

9

4

，或b＜-

23

12

直線y=x+b與（2）中的圖象只有兩個交點；
由

y1=x2-2x y2=- 1 3 (x-2)(x-4)

，
當y₁=y₂時，有x=2或x=1．
當x=1時，y=-1．
所以過兩拋物線交點（1，-1），（2，0）的直線為y=x-2．
綜上所述可知：當b＜-

9

4

或b＞-

23

12

或b=-2時，
直線y=x+b與（2）中圖象只有兩個交點．

點評：本題具有較強的綜合性，考查了一元二次方程的根的情況，二次函數(shù)與對應的一元二次方程的聯(lián)系，討論一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象交點的情況．