Question

如圖，已知圓O的圓心為O，半徑為3，點M為圓O內(nèi)的一個定點，OM=

5

，AB、CD是圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M．
（1）當AB=4時，求四邊形ADBC的面積；
（2）當AB變化時，求四邊形ADBC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）先作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OB，OC，△OBF是直角三角形，利用勾股定理有AB=2

9-OF2

=4，易求OF，易知四邊形FOEM是矩形，從而有OE²+OF²=OM²=5，易求OE=0，那么CD是直徑等于6，從而易求四邊形ADBC的面積；
（2）先設(shè)OE=x，OF=y，則x²+y²=5，根據(jù)（1）可得AB=2

9-x2

，CD=2

9-y2

，從而易知S_{四邊形ADBC}=

1

2

AB×CD=2

9-x2

×

9-y2

，結(jié)合x²+y²=5，可得S_{四邊形ADBC}=2

-(x2- 5 2 )2+ 169 4

，從而可求四邊形ADBC的面積的最大值．

解答：解：（1）作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，連接OB，OC，
那么AB=2

9-OF2

=4，
∴OF=

5

，
又∵OE²+OF²=OM²=5，
∴OE=0，
∴CD=6，
∴S_{四邊形ADBC}=

1

2

AB×CD=12；

（2）設(shè)OE=x，OF=y，則x²+y²=5，
∵AB=2

9-x2

，CD=2

9-y2

，
∴S_{四邊形ADBC}=

1

2

AB×CD=2

9-x2

×

9-y2

=2

-x4+5x2+36

=2

-(x2- 5 2 )2+ 169 4

，
∴當x²=

5

2

時，四邊形ADBC的最大面積是13．

點評：本題考查了勾股定理、垂徑定理、二次函數(shù)的最值、矩形的判定．解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出OE，并能用OE、OF表示AB、CD．