Question

如圖1，已知矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E（4，0）
（1）當(dāng)x取何值時(shí)，該拋物線取最大值？該拋物線的最大值是多少？
（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)．設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．
①當(dāng)t=

11

4

時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說(shuō)明理由；
②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積是否可能為5？若有可能，求出此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)；若無(wú)可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)O、E的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式，進(jìn)而求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出所求的結(jié)論；
（2）①當(dāng)t=

11

4

時(shí)，OA=AP=

11

4

，由此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可；
②此題要分成兩種情況討論：
一、PN=0時(shí)，即t=0或t=3時(shí)，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形是△PCD，以CD為底AD長(zhǎng)為高即可求出其面積；
二、PN≠0時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形是梯形PNCD，根據(jù)拋物線的解析式可表示出N點(diǎn)的縱坐標(biāo)，從而得出PN的長(zhǎng)，根據(jù)梯形的面積公式即可求出此時(shí)S、t的函數(shù)關(guān)系式，令S=5，可得到關(guān)于t的方程，若方程有解，根據(jù)求得的t值即可確定N點(diǎn)的坐標(biāo)，若方程無(wú)解，則說(shuō)明以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形的面積不可能為5．

解答：解：（1）因拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）和點(diǎn)E（4，0），
故可得c=0，b=4，
所以拋物線的解析式為y=-x²+4x（1分），
由y=-x²+4x，y=-（x-2）²+4，
得當(dāng)x=2時(shí)，該拋物線的最大值是4；（2分）

（2）①點(diǎn)P不在直線ME上；
已知M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，4），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），
設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+a；
于是得，

4k+a=0 2k+a=4

，
解得：

k=-2 a=8

，
所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8；（3分）
由已知條件易得，當(dāng)t=

11

4

時(shí)，OA=AP=

11

4

，P（

11

4

，

11

4

）（4分）
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8；
∴當(dāng)t=

11

4

時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上；（5分）
②以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積可能為5
∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，
∴OA=AP=t；
∴點(diǎn)P、N的坐標(biāo)分別為（t，t）、（t，-t²+4t）（6分）
∴AN=-t²+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t²+4t）-t=-t²+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t²+3t（7分）
（ⅰ）當(dāng)PN=0，即t=0或t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，
∴S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3；
（ⅱ）當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=

1

2

（CD+PN）•AD=

1

2

[3+（-t²+3t）]×2=-t²+3t+3（8分）
當(dāng)-t²+3t+3=5時(shí)，解得t=1、2（9分）
而1、2都在0≤t≤3范圍內(nèi)，故以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為5
綜上所述，當(dāng)t=1、2時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積為5，
當(dāng)t=1時(shí)，此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)（1，3）（10分）
當(dāng)t=2時(shí)，此時(shí)N點(diǎn)的坐標(biāo)（2，4）．（11分）
說(shuō)明：（ⅱ）中的關(guān)系式，當(dāng)t=0和t=3時(shí)也適合，（故在閱卷時(shí)沒(méi)有（�。�，只有（ⅱ）也可以，不扣分）

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形的面積求法以及二次函數(shù)的應(yīng)用．在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．