如圖:拋物線y=ax2-4ax+m與x 軸交于A、B兩點,點A的坐標是(1,0),與y軸交于點C.
(1)求拋物線的對稱軸和點B的坐標;
(2)過點C作CP⊥對稱軸于點P,連接BC交對稱軸于點D,連接AC、BP,且∠BPD=∠BCP,求拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點為G,連接BG、CG、求△BCG的面積.

【答案】分析:(1)由拋物線y=ax2-4ax+m的對稱軸公式x=-,即可求得其對稱軸,又由點A、B關(guān)于對稱軸對稱,即可求得點B的坐標;
(2)由點A(1,0),B(3,0),求得AB的值,又由CP⊥對稱軸,可得CP∥AB,易證得四邊形ABPC是平行四邊形,然后設(shè)點C(0,x)(x<0),證得△BPD∽△BCP,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,即可求得x的值,又由二次函數(shù)過點A與C,利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;
(3)首先由解析式,即可求得拋物線頂點G坐標,然后設(shè)CG的解析式是:y=kx+b,利用待定系數(shù)法即可求得CG的解析式,則可求得H的坐標,又由S△BCG=S△BHG+S△BHC,即可求得△BCG的面積.
解答:解:(1)對稱軸是x=-=2,…(2分)
∵點A(1,0)且點A、B關(guān)于x=2對稱,
∴點B(3,0);…(4分)

(2)點A(1,0),B(3,0),
∴AB=2,
∵CP⊥對稱軸于P,
∴CP∥AB,
∵對稱軸是x=2,
∴AB∥CP且AB=CP,
∴四邊形ABPC是平行四邊形,…(5分)
設(shè)點C(0,x)(x<0),
在Rt△AOC中,AC=,
∴BP=,
在Rt△BOC中,BC=,
,
∴BD=,
∵∠BPD=∠BCP 且∠PBD=∠CBP,
∴△BPD∽△BCP,…(7分)
∴BP2=BD•BC,
,

∴x1=,x2=-
∵點C在y軸的負半軸上,
∴點C(0,),…(8分)
∴y=ax2-4ax-
∵過點(1,0),
∴a-4a-=0,
解得:a=-
∴解析式是:y=-x2+x-;…(9分)

(3)當x=2時,y=,
頂點坐標G是(2,),…(10分)
設(shè)CG的解析式是:y=kx+b,
∵過點(0,)(2,),
,
∴y=x-,…(11分)
設(shè)CG與x軸的交點為H,
令y=0,則x-=0,
得x=
即H(,0),…(11分)
∴BH=3-=,
∴S△BCG=S△BHG+S△BHC===…(13分)
點評:此題考查了二次函數(shù)對稱軸的求解方法,二次函數(shù)的對稱性,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,三角形面積的求解方法以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.此題綜合性很強,難度較大,解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.
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8、如圖,直線y=ax+b與拋物線y=ax2+bx+c的圖象在同一坐標系中可能是(  )

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如圖,拋物線y1=-ax2-ax+1經(jīng)過點P(-
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),且與拋物線y2=ax2-ax-1相交于A,B兩點.
(1)求a值;
(2)設(shè)y1=-ax2-ax+1與x軸分別交于M,N兩點(點M在點N的左邊),y2=ax2-ax-1與x軸分別交于E,F(xiàn)兩點(點E在點F的左邊),觀察M,N,E,F(xiàn)四點的坐標,寫出一條正確的結(jié)論,并通過計算說明;
(3)設(shè)A,B兩點的橫坐標分別記為xA,xB,若在x軸上有一動點Q(x,0),且xA≤x≤xB,過Q作一條垂直于x軸的直線,與兩條拋物線分別交于C,D精英家教網(wǎng)兩點,試問當x為何值時,線段CD有最大值,其最大值為多少?

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如圖,拋物線y=-ax2+ax+6a交x軸負半軸于點A,交x軸正半軸于點B,交y軸正半軸于點D,精英家教網(wǎng)O為坐標原點,拋物線上一點C的橫坐標為1.
(1)求A,B兩點的坐標;
(2)求證:四邊形ABCD的等腰梯形;
(3)如果∠CAB=∠ADO,求α的值.

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已知:如圖,拋物線的頂點為點D,與y軸相交于點A,直線y=ax+3與y軸也交于點A,矩形ABCO的頂點B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對稱軸;
(2)⊙P是經(jīng)過A、B兩點的一個動圓,當⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點的距離為4時,求圓心P的坐標;
(3)若線段DO與AB交于點E,以點D、A、E為頂點的三角形是否有可能與以點D、O、A為頂點的三角形相似,如果有可能,請求出點D坐標及拋物線解析式;如果不可能,請說明理由.

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已知:如圖,拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點C(0,-2),精英家教網(wǎng)與x軸交于點A、B,點A的坐標為(-2,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)M是線段OB上一動點,N是線段OC上一動點,且ON=2OM,分別連接MC、MN.當△MNC的面積最大時,求點M、N的坐標;
(3)若平行于x軸的動直線與該拋物線交于點P,與線段AC交于點F,點D的坐標為(-1,0).問:是否存在直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

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