Question

12．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)A，B和C的距離分別為1，2，3，將△ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′，連接PP′．
（1）求證：△BPP′是等腰直角三角形；
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△ABP≌△CBP′，得出∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=2，P′C=AP=1，即可得出結(jié)論；
（2）連接PC，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BP′P=45°，由勾股定理求出PP′，由勾股定理的逆定理證出△BP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵將△ABP繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)至△CBP′，
∴△ABP≌△CBP′，
∴∠PBP′=∠ABC=90°，BP=BP′=2，P′C=AP=1，∠APB=∠BP′C
∴△BPP′為等腰直角三角形；
（2）解：連接PC，如圖所示：
由（1）得：△BPP′為等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，PP′=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵PP′²+P′C²=8+1=9=PC²，
∴△BP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠BP′C=90°+45°=135°．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及勾股定理的逆定理；熟練掌握正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△BP′C是直角三角形是解決問題（2）的關(guān)鍵．