Question

【題目】如圖，⊙E的圓心E（3，0），半徑為5，⊙E與y軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），與x軸的正半軸交于點(diǎn)C，直線l的解析式為y= x+4，與x軸相交于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B．

（1）求拋物線的解析式；
（2）判斷直線l與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最小時(shí)．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及最小距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，

在Rt△AOE中，由勾股定理得，OA= = =4，

∵OC⊥AB，

∴由垂徑定理得，OB=OA=4，

OC=OE+CE=3+5=8，

∴A（0，4），B（0，﹣4），C（8，0），

∵拋物線的頂點(diǎn)為C，

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣8）2，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上解析的式，得64a=﹣4，故a=﹣ ，

∴y=﹣ （x﹣8）2，

∴y=﹣ x2+x﹣4為所求拋物線的解析式

（2）

解：在直線l的解析式y(tǒng)= x+4中，令y=0，得 x+4=0，解得x=﹣ ，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣ ，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=4，

∴點(diǎn)A在直線l上，

在Rt△AOE和Rt△DOA中，

∵ = ， = ，

∴ = ，

∵∠AOE=∠DOA=90°，

∴△AOE∽△DOA，

∴∠AEO=∠DAO，

∵∠AEO+∠EAO=90°，

∴∠DAO+∠EAO=90°，即∠DAE=90°，因此，直線l與⊙E相切與A

（3）

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點(diǎn)M．

設(shè)M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），則

PM= m+4﹣（﹣ m2+m﹣4）= m2﹣ m+8= （m﹣2）2+ ，

當(dāng)m=2時(shí)，PM取得最小值 ，

此時(shí)，P（2，﹣ ），

對(duì)于△PQM，

∵PM⊥x軸，

∴∠QMP=∠DAO=∠AEO，

又∠PQM=90°，

∴△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，

∴在動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△PQM的三邊的比例關(guān)系不變，

∴當(dāng)PM取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值，

PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= × = ，

∴當(dāng)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣ ）時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最小，其最小距離為 ．

【解析】（1）連接AE，由已知得：AE=CE=5，OE=3，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，結(jié)合垂徑定理求出OC的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到拋物線的解析式；（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣ ，0），根據(jù)△AOE∽△DOA，求出∠DAE=90°，判斷出直線l與⊙E相切與A．（3）過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線段PQ，垂足為Q，過(guò)點(diǎn)P作直線PM垂直于x軸，交直線l于點(diǎn)M．設(shè)M（m， m+4），P（m，﹣ m2+m﹣4），得到PM= m+4﹣（﹣ m2+m﹣4）= m2﹣ m+8= （m﹣2）2+ ，根據(jù)△PQM的三個(gè)內(nèi)角固定不變，得到PQ最小=PM最小sin∠QMP=PM最小sin∠AEO= × = ，從而得到最小距離．