Question

如圖，海事救援指揮中心A接到海上SOS呼救：一艘漁船B在海上碰到暗礁，船體漏水下沉，5名船員需要援救．經測量漁船B到海岸最近的點C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′，指揮中心立即制定三種救援方案（如圖1）：
①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點D，然后再派沖鋒舟前往B．
已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．
（sin22°37′=

5

13

，cos22°37′=

12

13

，tan22°37′=

5

12

）
（1）通過計算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時間忽略不計）？
（2）事后，細心的小明發(fā)現，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點P處，點P滿足cos∠BPC=

2

3

（沖鋒舟與汽車速度的比），然后再派沖鋒舟前往B（如圖2）．請你說明理由！
如果你反復探索沒有解決問題，可以選�、�、②、③兩種研究方法：
方案①：在線段上AP任取一點M；然后用轉化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時間要長．
方案②：在線段上AP任取一點M；設AM=x；然后用含有x的代數式表示出所用時間t；
方案③：利用現有數據，根據cos∠BPC=

2

3

計算出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的時間．

Answer 1

分析：（1）分別求出三種方案所需時間，比較后找到最省時的方案即可；
（2）分別有M點向BP作垂線，構造直角三角形利用銳角三角函數的定義求出距離后計算出時間即可．

解答：解：（1）∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴AB=

BC

sin∠BAC

=52km，AC=48km，
方案①

52

60

=

13

15

小時=52分鐘，
②

48

90

+

20

60

=

13

15

小時=52分鐘，
③

33

90

+

(48-33)2+202

60

=

11

30

+

25

60

=

47

60

小時=47分鐘，
∴方案③較好；

（2）解：①點M為AP上任意一點，汽車開到M點放沖鋒舟下水，
用時tM=

AM

90

+

BM

60

，汽車開到P放沖鋒舟下水，用時tp=

AP

90

+

BP

60

，
延長BP過M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=

2

3

，
∴PH=

2

3

Mp，
∴汽車行MP的時間=沖鋒舟行PH的時間，
∴tp=

AP

90

+

BP

60

=

AM

90

+

BH

60

，

∵BM＞BH∴t_M＞tp；
②當點M在PC上任意一點時，過M作MH⊥BP于H，同理可證：t_M＞tp
方案②tM=

202+(48-x)2

60

+

x

90

，（當x=48-8

5

時，t_M最小，此時cos∠BPC=

2

3

），
方案③tp=

19 5 +48

90

小時．

點評：本題考查了解直角三角形的相關知識，特別是與實際問題相結合的題目就要求同學們從中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知識解決．