Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（2，0），點B（0，4），AB的垂直平分線交AB于C，交x軸于D，
（1）求點C、D的坐標(biāo)；
（2）求過點B、C、D的拋物線的解析式；
（3）點P為CD間的拋物線上一點，求當(dāng)點P在何處時，以P，C，D，B為頂點的四邊形的面積最大？

Answer 1

分析：（1）首先過C作CD⊥x軸于G．構(gòu)造△OAB的中位線CG，根據(jù)A、B點的坐標(biāo)及三角形中位線的性質(zhì)不難求得點C的坐標(biāo)．由于△ABO∽△ADC，利用相似三角形的性質(zhì)解得AD的長，那么D點的坐標(biāo)也就確定．
（2）運用待定系數(shù)法求解．假設(shè)過B（0，4），C（1，2），D（-3，0）的拋物線的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，將三點坐標(biāo)值代入聯(lián)立組成三元一次方程組解得a、b、c的值．
（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）連BD，過點P作PH⊥x軸于H，交BD于E．觀察圖象發(fā)現(xiàn)S_{四邊形PBCD}=S_△BCD+S_△PBD，
因為S_△BCD=S_△ACD為定值，所以要使四邊形PBCD的面積最大就是使△PBD的面積最大．再分別就①當(dāng)P在BD間的拋物線上時（即-3＜x＜0）；②當(dāng)P在BC間的拋物線上時（即0＜x＜1）時，討論x的取值，進而得到P點的坐標(biāo)，并驗證結(jié)果的合理性．

解答：解：（1）過C作CD⊥x軸于G，
∵點C為線段AB的中點，
∴CG是△OAB的中位線，
∴點C的坐標(biāo)是（1，2），┅┅┅┅┅┅┅┅（1分）
又∵OA=2，OB=4，
∴AB=2

5

，AC=

5

，
顯然△ABO∽△ADC，
∴

OA

AC

=

AB

AD

，
即

2

5

=

2 5

AD

，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（2分）
∴AD=5OD=AD-OA=3，
∴點D的坐標(biāo)是（-3，0）；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（3分）

（2）解：設(shè)過B（0，4），C（1，2），D（-3，0）的拋物線的關(guān)系式為y=ax²+bx+c，
∴

c=4 a+b+c=2 9a-3b+c=0

，┅┅┅┅┅┅（4分）
解得：

a=- 5 6 b=- 7 6 c=4

，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（5分）
∴拋物線的關(guān)系式為y=-

5

6

x2-

7

6

x+4；┅┅┅┅┅┅┅┅┅（6分）

（3）解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）連BD，過點P作PH⊥x軸于H，交BD于E，
S_{四邊形PBCD}=S_△BCD+S_△PBD，
∵S_△BCD=S_△ACD為定值，
∴要使四邊形PBCD的面積最大就是使△PBD的面積最大，
①當(dāng)P在BD間的拋物線上時，即-3＜x＜0，
S_△PBD=S_△PBE+S_△PED=

1

2

PE×DH+

1

2

PE×OH=

1

2

PE×OD=

3

2

PE，

∵PE=PH-EH=y_P-y_E，┅┅┅┅┅┅┅┅（7分）
直線BD的關(guān)系式為y=

4

3

x+4，
∴PE=-

5

6

x2-

7

6

x+4-(

4

3

x+4)，
=-

5

6

x2-

15

6

x，
當(dāng)x=-

- 15 6

2×(- 5 6 )

=-

3

2

時，PE最大為

21

8

，
∴點P的坐標(biāo)（-

3

2

，

31

8

），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅（8分）
②當(dāng)P在BC間的拋物線上時，即0＜x＜1，
同理可求出四邊形PBCD的面積，
很顯然，此時四邊形PBCD的面積要小于點P在BD間的拋物線上時的四邊形PBCD的面積，
故P點的坐標(biāo)是（-

3

2

，

31

8

）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅（9分）

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果；并有效利用了坐標(biāo)與線段的數(shù)形結(jié)合．