Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸正半軸上，邊，（）的長分別是方程的兩個根，是邊上的一動點（不與A、B重合）.

（1）填空：AB=　 　，OA=　 　．

（2）若動點D滿足△BOC與△AOD相似，求直線的解析式.

（3）若動點D滿足，且點為射線上的一個動點，當△PAD是等腰三角形時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）8,3;(2) ; (3) 點的坐標為(0,0)，，，．

【解析】

（1）解方程求得方程的兩根即可由題意求得AB、OA的長度；

（2）由題意可知∠OCB=∠OAD=90°，由此可知若△BOC與△AOD相似，則存在若①△BOC∽△DOA；②△BOC∽△ODA兩種情況，根據(jù)這兩種情況結合已知條件分析解答即可；

（3）由已知易得AD=AO=3，然后根據(jù)題意分①AD=AP1；②AD=P2D；③AP3=DP3；④AD=P4D，共4種情況結合已知條件分析解答即可.

（1）解方程得：，

∵AB>AO，

∴AB=8，AO=3；

（2）∵四邊形OABC是矩形，

∴∠OCB=∠OAD=90°，

∴若△BOC與△AOD相似，則存在若①△BOC∽△DOA；②△BOC∽△ODA兩種情況，

①若△BOC∽△DOA.

則 ，即，

解得： ；

②若△BOC∽△ODA，可得AD=8（與題意不符，舍去），

設直線解析式為，則，

解得：，

∴直線的解析式為．

（3）∵AD+DB=AB=8， ，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

根據(jù)△PAD是等腰三角形，分以下4種情況討論：

①如下圖所示，

當時，點的坐標為；

②如下圖所示，當DA=DP2=3時，過P2E作x軸的垂線，垂足為E，

則，△OEP2是等腰直角三角形，

∴，

∴點的坐標為　；

③如下圖所示，當時，，

∴△ADP3是等腰直角三角形，

∴，

∴，

過作軸的垂線，垂足為，則△OP3F是等腰直角三角形，

∴，

∴點的坐標為；

④如下圖所示，當時，，

過作軸的垂線，垂足為，則是等腰直角三角形，

∴，

∴點的坐標為；

綜上所述，當△PAD是等腰三角形時，點的坐標為，，，．