Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥軸于點C，A，B．動點P從O點出發(fā)，沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設點移動的時間為秒，△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

1.求經(jīng)過O、A、B三點的拋物線解析式；

2.求S與t的函數(shù)關系式；

3.將△OPQ繞著點逆時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點為O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1. 法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點，

設拋物線解析式為．

把A（1，-1），B（3，-1）代入上式得：

 解得：

∴所求拋物線解析式為

法二：∵A（1，-1），B（3，-1），

∴拋物線的對稱軸是直線．

設拋物線解析式為（）

把O，A（1，-1）代入得

   解得

∴所求拋物線解析式為

2.分四種情況：

①當，重疊部分的面積是，過點作軸于點，

∵A（1，-1），在中，，，

在中，，，                              

∴，       ∴

．

②當，設交于點，作軸于點，

，則四邊形是等腰梯形，

重疊部分的面積是．

∴，

∴．

③當，設與交于點，交于點，

重疊部分的面積是．

因為和都是等腰直角三角形，

所以重疊部分的面積是．

∵B（3，-1），，

∴，

∴，

∴

       

4當時，重疊部分的面積就是梯形OABC的面積= 

3.存在     ，

解析:本題是二次函數(shù)的一道綜合題，（1）（2）求點的坐標和函數(shù)解析式，是常見題型，（3）需要綜合考慮，有一定難度。