Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，且AC，BC分別與圓O相切于點M、N，若AO=15厘米，OB=20厘米，則圓O的面積為    平方厘米．

Answer 1

【答案】分析：連接OM，ON，由AC與BC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OM垂直于AC，ON垂直于BC，由∠C為直角，根據(jù)三個角為直角的四邊形為矩形可得出CMON為矩形，根據(jù)矩形的對邊ON與AC平行，根據(jù)兩直線平行同位角相等可得出一對同位角相等，再由一對直角相等，根據(jù)兩對對應(yīng)邊相等的兩三角形相似可得出三角形AOM與三角形BON相似，根據(jù)相似得比例，設(shè)OM=ON=x厘米，在直角三角形BON中，由ON及OB，利用勾股定理表示出BN，將OM，BN，OA及OB的長代入比例式中，得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為圓的半徑，利用圓的面積公式即可求出圓O的面積．
解答：解：連接OM，ON，如圖所示：

∵AC，BC分別與圓O相切于點M、N，
∴OM⊥AC，ON⊥BC，
∴∠CMO=∠CNO=90°，又∠C=90°，
∴四邊形CMON為矩形，
∴ON∥AC，
∴∠BON=∠A，又∠AMO=∠ONB=90°，
∴△AMO∽△ONB，
∴=，
設(shè)OM=ON=x厘米，AO=15里面，BO=20厘米，
在Rt△BON中，根據(jù)勾股定理得：BN==，
∴=，即400x²=225（400-x²），解得：x=12，
∴圓O的半徑為12厘米，
則圓O的面積為π×12²=144π（平方厘米）．
故答案為：144π
點評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．