Question

在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A₁BC₁．

（1）當(dāng)點(diǎn)C₁在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，求∠CC₁A₁的度數(shù)；
（2）如圖2，△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，連接AA₁，CC₁，若△ABA₁的面積為4，求△CBC₁的面積；
（3）點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P₁，求線段EP₁長(zhǎng)度的最大值與最小值．

Answer 1

（1）90°；（2）；（3）最大值為7，最小值為

試題分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，即得∠CC₁B=∠C₁CB=45°，從而得到結(jié)果；
（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△A₁BC₁，即得BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，從而可得，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，即可證得△ABA₁∽△CBC₁，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，由△ABC為銳角三角形可得點(diǎn)D在線段AC上，在Rt△BCD中，根據(jù) 45°角的正弦函數(shù)即可求得BD的長(zhǎng)，①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最��；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大。
（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A₁C₁B=∠ACB=45°，BC=BC₁，
∴∠CC₁B=∠C₁CB=45°
∴∠CC₁A₁=∠CC₁B+∠A₁C₁B=45°+45°=90°；
（2）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A₁BC₁，
∴BA=BA₁，BC=BC₁，∠ABC=∠A₁BC₁，
∴，∠ABC+∠ABC₁=∠A₁BC₁+∠ABC₁，
∴∠ABA₁=∠CBC₁.
∴△ABA₁∽△CBC₁ 
∴.
∵S_△ABA1=4，
∴S_△CBC1=；
（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵△ABC為銳角三角形
∴點(diǎn)D在線段AC上。
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=。
①如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB上時(shí)，EP₁最小。最小值為：EP₁=BP₁﹣BE=BD﹣BE=.

②如圖2，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P₁在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP₁最大。最大值為：EP₁=BC+BE=5+2=7.

點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．