在平面直角坐標系xOy中,等腰三角形ABC的三個頂點A(0,1),點B在x軸的正半軸上,∠ABO=30°,點C在y軸上.
(1)直接寫出點C的坐標為
(0,3)或(0,-1)
(0,3)或(0,-1)
;
(2)點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上,AP=1,在圖中標出點P的位置并說明理由;
(3)在(2)的條件下,在y軸上找到一點M,使PM+BM的值最小,則這個最小值為
57
2
57
2
分析:(1)先確定A的位置,再作出△AOB,就可以求出AB=2,OB=
3
,在y軸上符合條件的有兩點C1和C2,求出即可;
(2)根據(jù)AP=AO=1,得出P的對稱點是O點,求出OC,即可得出OP,解直角三角形求出PQ和OQ即可;
(3)作出B關于y軸的對稱點,連接PB′即可得出M點的位置,求出PB′長即可.
解答:解:(1)
符合條件的有兩點,以A為圓心,以AB為半徑畫弧,交y軸于C1、C2點,
∵A(0,1),
∴OA=1,
∵在Rt△AOB中,OA=1,∠ABO=30°,
∴AB=2OA=2,OB=
3

即AC1=AC2=2,
∴OC1=1+2=3,OC2=2-1=2,
∴C的坐標是(0,3)或(0,-1),
故答案為:(0,3)或(0,-1);

(2)P的坐標是(
3
2
3
2
),
理由是:過P作PQ⊥x軸于Q,
∵OA=1,AP=1,AO⊥x軸,
∴x軸和以A為圓心,以1為半徑的圓相切,
∵AP=1,
∴P在圓上,
∵點P關于直線AB的對稱點P′在x軸上,AP=1,
∴P′點和O重合,如圖:
∵P和P′關于直線AB對稱,
∴PP′⊥AB,PC=P′C,
由三角形面積公式得:S△AOB=
1
2
AO×OB=
1
2
AB×CO,
3
×1=2OC,
∴OC=
3
2
,
∴PP′=2OC=
3
,
∵∠ABO=30°,∠OCB=90°,
∴∠POB=60°,
∴PQ=OP×sin60°=
3
2
,OQ=OP×cos60°=
3
2

即P的坐標是(
3
2
,
3
2
);

(3)
作B關于y軸的對稱點B′,連接PB′交y軸于M,則M為所求,
∵OB=
3
,
∴OB′=
3

即BB′=2
3
,
∵PQ=
3
2
,
∴由勾股定理得:PB′=
(2
3
)2+(
3
2
)2
=
57
2
,
∴PM+BM=PM+B′M=PB′=
57
2
,
故答案為:
57
2
點評:本題考查了軸對稱-最短路線問題,解直角三角形,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理等知識點的應用,題目綜合性比較強,難度偏大.
練習冊系列答案
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13、在平面直角坐標系xOy中,已知點A(2,-2),在y軸上確定點P,使△AOP為等腰三角形,則符合條件的有
4
個.

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(1)求此拋物線的解析式;
(2)設此拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于C 點,D是線段BC上一點(不與點B、C重合),若以B、O、D為頂點的三角形與△BAC相似,求點D的坐標;
(3)點P在y軸上,點M在此拋物線上,若要使以點P、M、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形,請你直接寫出點M的坐標.

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標系xOy中,△ABC的A、B兩個頂點在x軸上,頂點C在y軸的負半軸上.已知|OA|:|OB|=1:5,|OB|=|OC|,△ABC的面積S△ABC=15,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點.
(1)求此拋物線的函數(shù)表達式;
(2)設E是y軸右側(cè)拋物線上異于點B的一個動點,過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F,過點F作FG垂直于x軸于點G,再過點E作EH垂直于x軸于點H,得到矩形EFGH.則在點E的運動過程中,當矩形EFGH為正方形時,求出該正方形的邊長;
(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點M,使△MBC中BC邊上的高為7
2
?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.

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在平面直角坐標系xOy中,已知A(2,-2),B(0,-2),在坐標平面中確定點P,使△AOP與△AOB相似,則符合條件的點P共有
5
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個.

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如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(2,1)、B(4,1)、C(1,3).與△ABC與△ABD全等,則點D坐標為
(1,-1),(5,3)或(5,-1)
(1,-1),(5,3)或(5,-1)

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