Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．

（1）如圖1，求證：AE=DF；

（2）如圖2，若AB=2，過點M作 MG⊥EF交線段BC于點G，求證：△GEF是等腰直角三角形

（3）如圖3，若AB=2，過點M作 MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．判斷△GEF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）△GEF是等邊三角形．證明見解析.

【解析】試題分析：（1）證明△AEM≌△DFM即可得；

（2）如圖2，過點G作GH⊥AD于H，通過證明△AEM≌△HMG從而得出

ME=MG，∠EGM=45°，再由△AEM≌△DFM得ME=MF．從而得到△GEF是等腰直角三角形．

（3）如圖3，△GEF是等邊三角形．證明△AEM∽△HMG從而得．

由tan∠MEG=得到∠MEG=60°．　由△AEM≌△DFM得到ME=MF．再由MG⊥EF得GE=GF．

從而確定△GEF是等邊三角形．

試題解析：（1）如圖1,在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．

∵M是AD的中點，∴AM=DM，

∴△AEM≌△DFM（ASA）．

∴AE=DF．

（2）如圖2，過點G作GH⊥AD于H，

∴∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四邊ABGH為矩形，∴∠AME+∠AEM=90°，

∵MG⊥EF，∴∠GME=90°，∴∠AME+∠GMH=90°，∴∠AEM=∠GMH．

∵AD=4，M是AD的中點，∴AM=2，

∵四邊ABGH為矩形，∴AB=HG=2，∴AM=HG，∴△AEM≌△HMG（AAS）．

∴ME=MG，∴∠EGM=45°，

由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．

∵MG⊥EF，∴GE=GF，∴∠EGF=2∠EGM=90°，∴△GEF是等腰直角三角形．

（3）如圖3，△GEF是等邊三角形．

過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，

∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四邊形ABGH是矩形． ∴GH=AB=．

∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．

∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．

又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG．∴ ．

在Rt△GME中，∴tan∠MEG=．

∴∠MEG=60°．　由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF．∵MG⊥EF， ∴GE=GF．

∴△GEF是等邊三角形．