Question

如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點O與坐標原點重合，頂點A，C在坐標軸上，OA=60cm，OC=80cm．動點P從點O出發(fā)，以5cm/s的速度沿x軸勻速向點C運動，到達點C即停止．設點P運動的時間為ts．
（1）過點P作對角線OB的垂線，垂足為點T．求PT的長y與時間t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（2）在點P運動過程中，當點O關于直線AP的對稱點O′恰好落在對角線OB上時，求此時直線AP的函數(shù)解析式；
（3）探索：以A，P，T三點為頂點的△APT的面積能否達到矩形OABC面積的

1

4

？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可知OB=AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知

602+802

=100，即OB=AC=100．判定Rt△OPT∽Rt△OBC則可得出

PT

BC

=

OP

OB

，即可得出函數(shù)解析式，根據(jù)P的運動情況求出t的取值范圍即可．
（2）當O點關于直線AP的對稱點O′恰好在對角線OB上時，A，T，P三點在一條直線上．判定Rt△AOP∽Rt△OCB，則可得出

OP

CB

=

AO

OC

，點P的坐標為（45，0）．列出AP的函數(shù)解析式將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，解出即可．
（3）由（2）知，當t=9時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構成三角形．所以分兩種情況：1、當0＜t＜9時，列出方程求解看有無實數(shù)根即可．2、當9＜t≤16時，根據(jù)圖（3）列出方程求解看有無實數(shù)根即可．

解答：解：（1）在矩形OABC中，
因為OA=60，OC=80，
所以OB=AC=

602+802

=100．
因為PT⊥OB，
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因為

PT

BC

=

OP

OB

，即

PT

60

=

5t

100

，
所以y=PT=3t．
當點P運動到C點時即停止運動，此時t的最大值為

80

5

=16，
所以，t的取值范圍是0≤t≤16．

（2）（如圖2）當O點關于直線AP的對稱點O'恰好在對角線OB上時，A，T，P三點在
一條直線上．
所以AP⊥OB，∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB，
所以

OP

CB

=

AO

OC

．
所以OP=45．
所以點P的坐標為（45，0）．
設直線AP的函數(shù)解析式為y=kx+b．
將點A（0，60）和點P（45，0）代入解析式，
得

60=0+b 0=45k+b

，
解這個方程組得

k=- 4 3 b=60

．
所以此時直線AP的函數(shù)解析式是y=-

4

3

x+60．

（3）由（2）知，當t=

45

5

=9時，A，T，P三點在一條直線上，此時點A，T，P不構
成三角形．
所以分兩種情況：
1、當0＜t＜9時，點T位于△AOP的內(nèi)部（如圖1），過A點作AE⊥OB，垂足為點E，
由AO•AB=OB•AE可得AE=48．
所以S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=

1

2

×60×5t-

1

2

×4t×48-

1

2

×4t×3t=-6t²+54t．
若S_△APT=

1

4

S_矩形OABC，
則-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此時，△=（-9）²-4×1×200＜0，
所以該方程無實數(shù)根．
所以當0＜t＜9時，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的

1

4

．
2、當9＜t≤16時，點T位于△AOP的外部．
此時S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t．
若S_△APT=

1

4

S_矩OABC，
則6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得t1=

9+ 881

2

，t2=

9- 881

2

＜0（舍去）．
由于881＞625=25²，
所以t=

9+ 881

2

＞

9+ 625

2

=17．
而此時9＜t≤16，
所以t=

9+ 881

2

也不符合題意，應舍去．
所以當9＜t≤16時，以A，P，T為頂點的△APT的面積也不能達到矩形OABC面積的

1

4

．
綜上所述，以A，P，T為頂點的△APT的面積不能達到矩形OABC面積的

1

4

．

點評：本題要注意利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法，列出方程，得出未知數(shù)．同學們需熟練掌握．