Question

（本題滿分12分）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數（k≠0）在第一象限內的圖象經過點D、E，且D點的橫坐標是它的縱坐標的2倍．

（1）求邊AB的長；

（2）求反比例函數的解析式和n的值；

（3）若反比例函數的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長．

Answer 1

（1）BA＝2；（2）反比例函數的關系式為y＝， n＝；（3）OG＝．

【解析】

（1）∵E（4，n），∴OA＝4，∵D點的橫坐標是它的縱坐標的2倍，∴BA：OA＝1：2，即BA：4＝1：2，∴BA＝2；

（2）∵OA＝4，AB＝2，∴B（4，2），∵點D為OB的中點，∴D（2，1），∵點D在反比例函數的圖象上，

∴1＝，即k＝2，∴反比例函數的關系式為y＝，∵E（4，n）在反比例函數的圖象上，∴n＝；

（3）∵B（4，2）且BC∥x軸，∴點F的縱坐標等于2，∵點F也在反比例函數的圖象上，∴F（1，2）．∴CF＝1，連接GF，則OG＝GF＝x，則OC＝2，CF2＝GF2，在Rt△GCF中，CG2＋CF2＝GF2，即（2－x）2＋12＝x2，解得x＝，∴x＝，∴OG＝．

考點：反比例函數綜合題．