【題目】定義:如果M個不同的正整數(shù),對其中的任意兩個數(shù),這兩個數(shù)的積能被這兩個數(shù)的和整除,則稱這組數(shù)為M個數(shù)的祖沖之數(shù)組.如(3,6)為兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組,因為3×6能被(3+6整除);又如(15,30,60)為三個數(shù)的祖沖之數(shù)組,因為(15×30)能被(15+30)整除,(15×60)能被(15+60)整除,(30×60)能被(30+60)整除…
(1)我們發(fā)現(xiàn),3和6,4和12,5和20,6和30…,都是兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組;由此猜測n和n(n﹣1)(n≥2,n為整數(shù))組成的數(shù)組是兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組,請證明這一猜想.
(2)若(4a,5a,6a)是三個數(shù)的祖沖之數(shù)組,求滿足條件的所有三位正整數(shù)a.

【答案】
(1)解:∵nn(n﹣1)÷[n+n(n﹣1)]=n2(n﹣1)÷n2=n﹣1,

∴n和n(n﹣1)(n≥2,n為整數(shù))組成的數(shù)組是祖沖之數(shù)組.


(2)解:∵ = , = , = 都是整數(shù),

∴a是5,9,11的倍數(shù),

∴滿足條件的所有三位正整數(shù)a為495或990.


【解析】(1)根據(jù)祖沖之數(shù)組的定義,即可解決問題.(2)首先判斷出a是5,9,11的倍數(shù),由此即可解決問題.

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