Question

【題目】一副直角三角板（其中一個(gè)三角板的內(nèi)角是45°,45°,90°,另一個(gè)是30°,60°,90°）

（1）如圖①放置，AB⊥AD,∠CAE=_______，BC與AD的位置關(guān)系是__________；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，再拿一個(gè)30°,60°,90°的直角三角板，如圖②放置，將AC′邊和AD邊重合， AE是∠CAB′的角平分線嗎，如果是，請(qǐng)加以說(shuō)明，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）根據(jù)（1）（2）的計(jì)算，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：

如圖③∠BAD=90°，∠BAC=∠FAD= （是銳角），將一個(gè)45°,45°,90°直角三角板的一直角邊與AD邊重合，銳角頂點(diǎn)A與∠BAD的頂點(diǎn)重合，AE是∠CAF的角平分線嗎？如果是，請(qǐng)加以說(shuō)明，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)15°,相互平行；(2)見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）∠CAE=∠BAD－∠BAC－∠EAD=15°，因?yàn)?/span>AB⊥AD，AB⊥BC，

所以BC與AD相互平行；（2）先計(jì)算出∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°，由（1）可得∠EAB′=∠CAE，所以AE是∠CAB′的角平分線；（3）分別計(jì)算出∠CAE=∠FAE=45°－α，所以AE是∠CAF的角平分線．

試題解析：

（1）∵AB⊥AD，

∴∠BAD=90°，

∴∠CAE=90°－45°－30°=15°，

∵AB⊥AD，AB⊥BC，

∴BC與AD相互平行；

（2）AE是∠CAB′的角平分線．

理由如下：如圖②，∵∠EAD=45°，∠B′AC′=30°，

∴∠EAB′=∠EAD－∠B′AC′=15°．

又由（1）知，∠CAE=15°，

∴∠CAE=∠EAB′，即AE是∠CAB′的角平分線；

（3）AE是∠CAF的角平分線．

理由如下：如圖③，∵∠EAD=45°，∠BAD=90°，

∴∠BAE=∠DAE=45°，

又∵∠BAC=∠FAD=α，

∴∠BAE－∠BAC=∠DAE－∠FAD，

∴∠CAE=∠FAE，即AE是∠CAF的角平分線．