拋物線y=a(x+2)2+c與x軸交于A、B兩點,與y軸負(fù)半軸交于點C,已知點A(-1,0),OB=OC.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點M是拋物線上一個動點,且S△BCM=S△ABC,求點M的坐標(biāo);
(3)Q為直線y=-x-4上一點,在此拋物線的對稱軸是否存在一點P,使得∠APB=2∠AQB,且這樣的Q點有且只有一個?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)的解析式可以得到函數(shù)的對稱軸是x=-2,則B點的坐標(biāo)可以求得,求得OB的長,則C的坐標(biāo)可以求得,把A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得;
(2)首先利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式,然后根據(jù)S△BCM=S△ABC,即可求得BC邊上的高,則M所在的直線的解析式可以求得,然后解M所在直線的解析式與二次函數(shù)的解析式組成的方程組即可求得M的坐標(biāo);
(3)設(shè)P(-2,m),以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切,根據(jù)切線的性質(zhì)即可求解.
解答:解:(1)由拋物線y=a(x+2)2+c可知,其對稱軸為x=-2,
∵點A坐標(biāo)為(-1,0),
∴點B坐標(biāo)為(-3,0),
∵OB=OC,
∴C點坐標(biāo)為(0,-3).
將A(-1,0)、C(0,-3)分別代入解析式得,
a+c=0
4a+c=-3
,
解得,
a=-1
c=1
,
則函數(shù)解析式為y=-x2-4x-3.

(2)BC:y=-x-3,
∴AM:y=-x-1,
y=-x-1
y=-x2-4x-3

∴M(-2,1),
同理
y=-x-5
y=-x2-4x-3
,
∴M(
-3+
17
2
,-
7+
17
2
)或(-
3+
17
2
17
-7
2
),

(3)設(shè)P(-2,m),以P為圓心的圓與直線y=-x-4相切,得
(m+2)2
2
=1+m2
,m=2±
6

故P(-2,2+
6
)或(-2,2-
6
).
點評:本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,以及直線與圓相切的判定,正確理解切線的判定方法是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,直線y=
4
3
x-4與x軸交于點A,與y軸交于點C,已知二次函數(shù)y=
4
3
x2+bx+c的圖象經(jīng)過點精英家教網(wǎng)A和C,和x軸的另一個交點為B.
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)直接寫出該拋物線的對稱軸及頂點M的坐標(biāo);
(3)求四邊形ABCM的面積S.

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求過(-1,0),(3,0),(1,-5)三點的拋物線的解析式,并畫出該拋物線.

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(1)函數(shù)解析式;
(2)若拋物線與x軸交點為A、B與y軸交點為C,求△ABC面積.

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精英家教網(wǎng)已知拋物線C1:y=x2-2x的圖象如圖所示,把C1的圖象沿y軸翻折,得到拋物線C2的圖象,拋物線C1與拋物線C2的圖象合稱圖象C3
(1)求拋物線C1的頂點A坐標(biāo),并畫出拋物線C2的圖象;
(2)若直線y=kx+b與拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)有且只有一個交點時,稱直線與拋物線相切.若直線y=x+b與拋物線C1相切,求b的值;
(3)結(jié)合圖象回答,當(dāng)直線y=x+b與圖象C3有兩個交點時,b的取值范圍.

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如圖,一單桿高2.2m,兩立柱之間的距離為1.6m,將一根繩子的兩端栓于立柱與鐵杠結(jié)合處,繩子自然下垂呈拋物線狀.
(1)一身高0.7m的小孩站在離立柱0.4m處,其頭部剛好觸上繩子,求繩子最低點到地面的距離;
(2)為供孩子們打秋千,把繩子剪斷后,中間系上一塊長為0.4米的木板,除掉系木板用去的繩子后,兩邊的繩子正好各為2米,木板與地面平行,求這時木板到地面的距離.(供選用數(shù)據(jù):
3.36
≈1.8,
3.64
≈1.9,
4.39
≈2.1)
精英家教網(wǎng)

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