Question

已知，如圖所示，正方形ABCD，E、M、F、N分別是AD、AB、BC、CD上的點(diǎn)，若EF⊥MN，求證：EF=MN．

Answer 1

分析：過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，過點(diǎn)M作MH⊥CD于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得EG=MH，EG⊥MH，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△EFG和△MNH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可．

解答：證明：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥BC于G，過點(diǎn)M作MH⊥CD于H，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴EG=MH，EG⊥MH，
∴∠1+∠3=90°，
∵EF⊥MN，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵在△EFG和△MNH中，

∠1=∠2 EG=MH ∠EGF=∠MHN=90°

，
∴△EFG≌△MNH（ASA），
∴EF=MN．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．