Question

（2012•紹興三模）已知∠ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），分別以AB、AP為邊在∠ABC的內(nèi)部作等邊△ABE和△APQ，連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F．
（1）如圖1，若AB=2

3

，點(diǎn)A、E、P恰好在一條直線上時(shí)，求此時(shí)EF的長(zhǎng)（直接寫出結(jié)果）；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段），并加以證明；
（3）若AB=2

3

，設(shè)BP=4，求QF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A、E、P在同一直線上判斷出點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，先根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AP，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出QE．再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出QF，然后根據(jù)EF=QF-QE，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解；
（2）先求出∠BAP=∠EAQ，然后利用“邊角邊”證明△ABP和△AEQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠AEQ=∠ABP=90°，然后求出∠BEF=∠EBF=30°，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可得證；
（3）過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BE于點(diǎn)D，根據(jù)等腰三角形三線合一的求出BD，再解直角三角形求出BF的長(zhǎng)度，即可得到EF的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QE=BP，然后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．

解答：解：（1）∵△ABE是等邊三角形，A、E、P在同一直線上，
∴AB=AE且∠BAE=60°，
∴點(diǎn)E是AP的中點(diǎn)，
∴AP=2AB=2×2

3

=4

3

，
∴QE=4

3

×

3

2

=6，
QF=PQ÷cos30°=4

3

÷

3

2

=8，
∴EF=2；

（2）EF=BF．
證明：∵∠BAP=∠BAE-∠EAP=60°-∠EAP，
∠EAQ=∠QAP-∠EAP=60°-∠EAP，
∴∠BAP=∠EAQ．
在△ABP和△AEQ中，
∵

AB=AE ∠BAP=∠EAQ AP=AQ

，
∴△ABP≌△AEQ（SAS）
∴∠AEQ=∠ABP=90°，
∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，
又∵∠EBF=90°-60°=30°，
∴∠BEF=∠EBF，
∴EF=BF；

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FD⊥BE于點(diǎn)D，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BE=AB=2

3

，
由（2）得∠EBF=30°，
在Rt△BDF中，BD=

1

2

BE=

1

2

×2

3

=

3

，
∴BF=

BD

cos30°

=

3

3 2

=2，
∴EF=2，
∵△ABP≌△AEQ，
∴QE=BP=4，
∴QF=QE+EF=4+2=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，以及解直角三角形，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，（2）較為復(fù)雜，求出△ABP≌△AEQ是解題的關(guān)鍵．