【題目】如圖,拋物線y=x2+ x+cx軸的負半軸交于點A,與y軸交于點B,連結AB,點C(6,)在拋物線上,直線ACy軸交于點D.

(1)求c的值及直線AC的函數(shù)表達式;

(2)點Px軸正半軸上,點Qy軸正半軸上,連結PQ與直線AC交于點M,連結MO并延長交AB于點N,若MPQ的中點.

①求證:△APM∽△AON;

②設點M的橫坐標為m,求AN的長(用含m的代數(shù)式表示).

【答案】(1)y=x2+x-3,y=x+3(2)AN=

【解析】試題(1)把C點坐標代入拋物線解析式可求得c的值,令y=0可求得A點坐標,利用待定系數(shù)法可求得直線AC的函數(shù)表達式;

(2)①Rt△AOBRt△AOD中可求得OAB=∠OAD,在Rt△OPQ中可求得MP=MO,可求得MPO=∠MOP=∠AON,則可證得APM∽△AON;

MMEx軸于點E,用m可表示出AEAP,進一步可表示出AM,利用APM∽△AON可表示出AN

(1)把C點坐標代入拋物線解析式可得,解得c=﹣3,∴拋物線解析式為,令y=0可得,解得x=﹣4x=3,∴A(﹣4,0),設直線AC的函數(shù)表達式為y=kx+bk≠0),把AC坐標代入可得,解得,∴直線AC的函數(shù)表達式為;

(2)①∵Rt△AOB中,tan∠OAB= =,在RtAOD中,tan∠OAD==,∴∠OAB=∠OAD,∵Rt△POQ中,MPQ的中點,OM=MP,∴∠MOP=∠MPO,且MOP=∠AON,∴∠APM=∠AON,∴△APM∽△AON;

如圖,過點MMEx軸于點E,則OE=EP,∵M的橫坐標為m,∴AE=m+4,AP=2m+4,∵tan∠OAD=,∴cos∠EAM=cos∠OAD=,∴=,∴AM=AE=,∵△APM∽△AON,∴,即,∴AN=

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