Question

【題目】如圖，已知△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)A，C在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點(diǎn)D，以P（1，0）為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)B，D．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)（用m表示）；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)Q為拋物線上點(diǎn)P至點(diǎn)B之間的一動(dòng)點(diǎn)，連接PQ并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接BQ并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)F，試證明：FC（AC+EC）為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由B（3，m）可知OC=3，BC=m，又△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=BC=m，OA=m﹣3，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3﹣m，0）

（2）解：∵∠ODA=∠OAD=45°

∴OD=OA=m﹣3，

則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，m﹣3）．

又拋物線頂點(diǎn)為P（1，0），且過(guò)點(diǎn)B、D，

所以可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x﹣1）2，

得：

解得

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1

（3）解：方法一：

證明：過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥AC于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥BC于點(diǎn)N，

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（x，x2﹣2x+1），

則QM=CN=（x﹣1）2，MC=QN=3﹣x．

∵QM∥CE

∴△PQM∽△PEC

∴

即 ，得EC=2（x﹣1）

∵QN∥FC

∴△BQN∽△BFC

∴

即 ，得

又∵AC=4

∴FC（AC+EC）= [4+2（x﹣1）]= （2x+2）= ×2×（x+1）=8

即FC（AC+EC）為定值8．

方法二：

設(shè)Q（t，t2﹣2t+1），B（3，4），

設(shè)直線BQ：y=kx+b，

∴l(xiāng)BQ：y=（t+1）x+1﹣3t，

把y=0代入y=（t+1）x+1﹣3t，

∴x= ，即F（ ，0），

∵P（1，0），Q（t，t2﹣2t+1），

∴l(xiāng)PQ：y=（t﹣1）x+1﹣t，

把x=3代入，∴y=2t﹣2，即E（3，2t﹣2），

∴FC（AC+EC）=（CX﹣FX）（CX﹣AX+EY﹣CY）=（3﹣ ）（4+2t﹣2）=8．

【解析】（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)可先求OA，利用線段之差即可求出；（2）先把拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，再把B（3，m)、D點(diǎn)坐標(biāo)（0，m-3)代入即可；（3） 線段的積可利用相似的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例，轉(zhuǎn)化為其他線段的積.