Question

【題目】如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸為直線x=1．直線y=﹣x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，則下列結(jié)論：①2a+b+c＞0； ②a﹣b+c＜0； ③x（ax+b）≤a+b； ④a＜﹣1．

其中正確的是（　　）

A. ①②③④B. ①②③C. ②③D. ①②

Answer 1

【答案】A

【解析】

利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＞0，利用對稱軸方程得到b＝2a，則2a＋b＋c＝c＞0，于是可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）右側(cè)，則當(dāng)x＝1時，y＜0，于是可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到x＝1時，二次函數(shù)有最大值，則ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，于是可對③進(jìn)行判斷；由于直線y＝x＋c與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，利用函數(shù)圖象得x＝3時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，即9a＋3b＋c＜3＋c，然后把b＝2a代入解a的不等式，則可對④進(jìn)行判斷．

解：∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，

∴c＞0，

∵拋物線的對稱軸為直線x＝＝1，

∴b＝2a，

∴2a＋b＋c＝2a2a＋c＝c＞0，所以①正確；

∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)在點(diǎn)（3，0）左側(cè)，

而拋物線的對稱軸為直線x＝1，

∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)在點(diǎn)（1，0）右側(cè)，

∴當(dāng)x＝1時，y＜0，

∴ab＋c＜0，所以②正確；

∵x＝1時，二次函數(shù)有最大值，

∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c，

∴ax2＋bx≤a＋b，所以③正確；

∵直線y＝x＋c與拋物線y＝ax2＋bx＋c交于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)在x軸下方且橫坐標(biāo)小于3，

∴x＝3時，一次函數(shù)值比二次函數(shù)值大，

即9a＋3b＋c＜3＋c，

而b＝2a，

∴9a6a＜3，解得a＜1，所以④正確．

故選：A．