Question

【題目】定義：有三個內(nèi)角相等的四邊形叫三等角四邊形．

（1）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范圍；
（2）如圖，折疊平行四邊形紙片DEBF，使頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別落在邊BE，BF上的點(diǎn)A，C處，折痕分別為DG，DH．求證：四邊形ABCD是三等角四邊形．
（3）三等角四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，則當(dāng)AD的長為何值時，AB的長最大，其最大值是多少？并求此時對角線AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵∠A=∠B=∠C，

∴3∠A+∠ADC=360°，

∴∠ADC=360°﹣3∠A．

∵0＜∠ADC＜180°，

∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，

∴60°＜∠A＜120°；

（2）

證明：∵四邊形DEBF為平行四邊形，

∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．

∵DE=DA，DF=DC，

∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，

∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，

∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，

∴四邊形ABCD是三等角四邊形

（3）

①當(dāng)60°＜∠A＜90°時，如圖1，

過點(diǎn)D作DF∥AB，DE∥BC，

∴四邊形BEDF是平行四邊形，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴EB=DF，DE=FB，

∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，

∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，

設(shè)AD=x，AB=y，

∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，

∵△DAE∽△DCF，

∴ ，

∴ ，

∴y= x2+x+4=﹣ （x﹣2）2+5，

∴當(dāng)x=2時，y的最大值是5，

即：當(dāng)AD=2時，AB的最大值為5，

②當(dāng)∠A=90°時，三等角四邊形是正方形，

∴AD=AB=CD=4，

③當(dāng)90°＜∠A＜120°時，∠D為銳角，如圖2，

∵AE=4﹣AB＞0，

∴AB＜4，

綜上所述，當(dāng)AD=2時，AB的長最大，最大值是5；

此時，AE=1，如圖3，

過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，

∵DA=DE，DN⊥AB，

∴AN= AE= ，

∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，

∴△DAN∽△CBM，

∴ ，

∴BM=1，

∴AM=4，CM= = ，

∴AC= = =

【解析】（1）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°，確定出∠A的范圍；（2）由四邊形DEBF為平行四邊形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等，判斷出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；（3）分三種情況分別討論計算AB的長，從而得出當(dāng)AD=2時，AB最長，最后計算出對角線AC的長．此題是四邊形綜合題，主要考查了四邊形的內(nèi)角和是360°，平行四邊形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是分類畫出圖形，也是解本題的難點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分．