Question

【題目】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，AC=8，BC=6，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度先沿CB方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再沿BA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，以DP，DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求PD的長(zhǎng)；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，連結(jié)DE，求證：DE∥AP.

（3）如圖3，連結(jié)CD．

①當(dāng)點(diǎn)E恰好落在△ACD的邊上時(shí)，求所有滿足要求的t值；

②記運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PEQD的面積為S，PEQD與△ACD的重疊部分面積為S1，當(dāng)＜時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍是 ______ ．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）①分三種情況討論：滿足要求的t的值為或或．②當(dāng)＜時(shí)， t的取值范圍是＜t＜．

【解析】（1）如圖1中，作DF⊥CA于F，

當(dāng)t=2時(shí)，AP=2，DF=ADsinA=5×=3，

∵AF=ADcosA=5×=4，

∴PF=4-2=2，

∴PD===．

（2）如圖2中，

在平行四邊形PEQD中，

∵PE∥DQ，

∴PE∥AD，

∵AD=DQ．PE=DQ，

∴PE=AD，

∴四邊形APED是平行四邊形，

∴DE∥AP．

（3）①分三種情況討論：

Ⅰ．當(dāng)點(diǎn)E在CA上時(shí)，

DQ⊥CB（如圖3所示），

∵∠ACB=Rt∠，CD是中線，∴CD=BD，∴CQ=CB=3即：t=

Ⅱ．當(dāng)點(diǎn)E在CD上，且點(diǎn)Q在CB上時(shí) （如圖4所示），

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CA于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CB于點(diǎn)H，

易證Rt△PGE≌Rt△PHQ，∴PG=DH=4，

∴CG=4-t，GE=HQ=CQ-CH=2t-3，

∵CD=AD，∴∠DCA=∠DAC

∴在Rt△CEG中，tan∠ECG===，∴t=

Ⅲ．當(dāng)點(diǎn)E在CD上，且點(diǎn)Q在AB上時(shí)（如圖5所示），過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CA于點(diǎn)F，

∵CD=AD，∴∠CAD=∠ACD．

∵PE∥AD，∴∠CPE=∠CAD=∠ACD，∴PE=CE，

∴PF=PC=，PE=DQ=11-2t，

∴在Rt△PEF中，cos∠EPF===

∴t=

綜上所述，滿足要求的t的值為或或．

②如圖6中，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′，EG⊥AC于G．

當(dāng)△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的時(shí)，PE′：EE′=2：1，

由（Ⅱ）可知CG=4-t，GE=2t-3，

∴PG=8-t-（4-t）=4，

∵E′G′∥EG，

∴===，

∴PG′=，E′G′=（2t-3），CG′=8-t-=-t，

∵tan∠ECG==，

解得t=．

如圖7中，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上時(shí)，PE交CD于E′，作E′G′⊥AC于G′．

∵△PDE′的面積等于平行四邊形PEDQD的面積的，

∴PE′：EE′=2：1，

由Ⅲ可知，PG′=PC=4-t，PE′=DQ=（11-2t），

∵cos∠E′PG′==，

∴，

解得t=，

綜上所述，當(dāng)＜時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的取值范圍是＜t＜．