Question

如圖的⊙O中，AB為直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，并與AB延長線交于點E．

（1）求證：∠1=∠2．

（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，求AG的長．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）6．

【解析】

試題分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，則∠2+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠2+∠C=90°，由OC⊥OB得∠C+∠3=90°，所以∠2=∠3，而∠1=∠3，所以∠1=∠2；

（2）由OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3得到OF=1，由（1）中∠1=∠2得EF=ED，在Rt△ODE中，DE=x，則EF=x，OE=1+x，根據(jù)勾股定理得，解得，則DE=4，OE=5，根據(jù)切線的性質(zhì)由AG為⊙O的切線得∠GAE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比可計算出AG．

試題解析：（1）連接OD，如圖，∵DE為⊙O的切線，∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2；

（2）∵OF：OB=1：3，⊙O的半徑為3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，則EF=x，OE=1+x，∵，∴，解得，∴DE=4，OE=5，∵AG為⊙O的切線，∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，∴，即，∴AG=6．

考點：1．切線的性質(zhì)；2．相似三角形的判定與性質(zhì)．