Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)為D．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線AD的解析式；

（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點(diǎn)M為線段CD上一動(dòng)點(diǎn)，過M作MN∥BD交線段AD于N點(diǎn)，點(diǎn)P是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CMN的面積最大時(shí)，求△MPN的周長取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，線段AE在第一象限內(nèi)交BD于點(diǎn)E，其中tan∠EAB=，將拋物線向右水平移動(dòng)，點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G；將△ABD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的三角形紀(jì)為△A1BD1，若射線BD1與線段AE的交點(diǎn)為F，連接FG．若線段FG把△ABF分成△AFG和△BFG兩個(gè)三角形，是否存在點(diǎn)G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，2）；直線AD解析式y=x+；（2）P（0，）；（3）G（，0），（，0），（，0）．

【解析】

（1）根據(jù)題意可得A，B，C坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱可求D點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求AD解析式;（2）作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT，設(shè)M（m，2），則T（m，m+），根據(jù)相似三角形可得MK=MT，用m表示△CMN的面積，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題，可求M點(diǎn)坐標(biāo)，作M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)M1（- ，2），連接M1N交y軸于點(diǎn)P，利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式以及直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖3，4，5，分類討論，通過數(shù)量關(guān)系列出方程，可求G點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）令x=0，則y=2，

∴C（0，2），

∵對(duì)稱軸為x=，且C，D關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴D（，2）．

令y=0，則0=﹣x2+x+2，

∴x1=﹣，x2=2，

∴A（﹣，0），B（2，0），

設(shè)直線AD解析式y=kx+b，

，

解得：k=1，b=，

∴直線AD解析式y=x+；

（2）如圖1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT

設(shè)M（m，2），則T（m，m+）

∵A（﹣，0），D（，2），

∴AH=DH

∴∠DAH=∠ADH=45°=∠CDA

∵MT∥DH，KN∥CD

∴∠KNT=∠KTN=45°=∠CDA

∴KT=KN，MT=MD

∵MN∥BD，

∴∠MND=∠ADB且∠CDA=∠DAB

∴△ADB∽△MND，

∴，

∴ND=MD．

∵DT=MD，

∴NT=MD．

∵KN∥CD，

∴，

∴KT=MT

∴KM=MT=（﹣m）

∴S△CMN=CM×KM=m×（﹣m）=﹣m2+m

∴當(dāng)m=時(shí)，S△CMN最大值．

∴M（，2）．

如圖2 作M關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)M1（﹣，2），

由B（2，0），D（，2）得到直線BD的解析式為：y=﹣2x+4．

∵MN∥BD，

∴設(shè)直線MN的解析式為：y=﹣x+t．

把M（，2）代入求得：y=﹣x+．

聯(lián)立方程組，

解之得，即N（），

由M1（﹣，2），N（）得到直線M1N的解析式為：y=﹣x+．

令x=0，則y=，即：P（0，）．

（3）如圖3：

①當(dāng)AG=FG，∠GFB=90°時(shí)，∵tan∠EAB=，

∴設(shè)FH=a，則AH=2a，設(shè)AG=FG=x，則GH=2a﹣x

∵FH2+GH2=FG2

∴a2+（2a﹣x）2=x2

∴x=a，

∴GH=a，

∵FH⊥AB，GF⊥FB

∴∠FBG=∠GFH

∴tan∠GFH=tan∠FBG

∴，

∴BH=a

∵AH+BH=AB=3，

∴2a+a=3，

∴a=，

∵OG=AG﹣AO

∴OG=×﹣=，

∴G（，0）

②如圖4

當(dāng)FG=BG，∠AGF=90°時(shí)，設(shè)GF=a，則AG=2a，BG=a，

∴AB=AG+BG=3a=3，

∴a=，

∴G（，0）；

③如圖5：

當(dāng)FG=BG，∠AFG=90°時(shí)，設(shè)GF=a，則BG=a，AG=a．

∴AB=AG+BG=a+a=3，

∴a=，

∵OG=AG﹣AO=a﹣=，

∴G（，0），

綜上所述G（，0），（，0），（，0）．