Question

如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO，DO為邊在AD的同側作等邊△AOB和等邊△DOC，AC與BD相交于點E．
（1）根據題意，結合圖寫出以下結論：
①∠AOC與∠BOD的大小關系是______．
②線段AC與BD的大小關系是______．
③∠AEB=______度．
（2）△OAB固定不動，保持△DOC的形狀和大小不變，將△DOC繞著點O旋轉，如圖2，則（1）中的結論是否仍然成立？試證明你的結論．

Answer 1

（1）解：∵△DCO和△ABO是等邊三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠AOC=∠BOD，AC=BD，∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAO）
=180°-（60°+60°）=60°；
故答案分別是：①相等；②相等；③60；

（2）解：（1）中的結論仍然成立．理由如下：與（1）證明過程類似，
∵△DCO和△ABO是等邊三角形，
∴OC=OD，OB=OA，∠OBA=∠OAB=60°，∠COD=∠BOA=60°，
∴∠COD+∠COB=∠BOA+∠COB，
∴∠DOB=∠COA，
在△DOB和△COA中，
∴△DOB≌△COA（SAS），
∴∠DBO=∠CAO，
∵∠OBA=∠OAB=60°
∴∠AEB=180°-（∠EBO+∠OBA+∠BAE）
=180°-（∠CAO+∠OBA+∠BAE）
=180°-（60°+60°）=60°．
分析：（1）通過全等三角形△AOC≌△BOD的對應邊相等、對應角相等來求①∠AOC與∠BOD的大小關系、②線段AC與BD的大小關系．在△BEA中，根據三角形內角和定理求出③∠AEB的大��；
（2）求出OC=OD，OA=OB，∠DOB=∠COA，證△DOB≌△COA，推出∠DBO=∠CAO，在△BEA中，根據三角形內角和定理求出即可．
點評：本題考查了等邊三角形性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理的應用，關鍵是求出∠DBO=∠CAO．題目比較好，證明過程類似．