Question

在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，P是斜邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D為BC上的一點(diǎn)，且PB=PD，ED⊥AC垂足為E．
（1）如圖（1）試確定PE與AC之間的數(shù)量關(guān)系

 

（2）如圖（2）在（1）的條件下，若P點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明．
（3）如圖（1）當(dāng)AP=1時(shí)，四邊形PBDE的面積為

 

平方單位（直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求解答過(guò)程）．

Answer 1

分析：（1）作斜邊AC的中線(xiàn)BO，即可推出BO⊥BC，且BO=OC=AO，然后通過(guò)求證△POB≌△DEP，推出PE=BO，即可推出PE與AC的數(shù)量關(guān)系，（2）依然成立，通過(guò)求證△OPB≌△EDP即可推出結(jié)論，（3）做作斜邊AC的中線(xiàn)BO，根據(jù)（1）所推出的結(jié)論，即可得：PE=OB=2

2

，DE=CE=OP=2

2

-1，通過(guò)S_{四邊形PBDE}=S_△BPO+S_△BOC-S_△CDE，即可推出S_{四邊形PBDE}的值．

解答：解：（1）作斜邊AC的中線(xiàn)BO，
∵△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BO⊥BC，且BO=OC=AO，∠A=∠C=45°，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°，
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD=45°+∠PBO=45°+∠DPC，
∴∠PBO=∠DPC
∵ED⊥AC，
∴Rt△BOP≌Rt△PDE，
∴BO=PE，
∴PE=OC=AO，
∴PE=

1

2

AC，


（2）作斜邊AC的中線(xiàn)BO，
∵△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BO⊥BC，且BO=OC=AO，
∵AE⊥DE，
∴∠OBC=∠OCB=∠DCE=∠CDE=45°，
∵PD=PB，
∴∠PDC=∠CBD，
∵∠DPE=∠DCE+∠PDC，∠OBP=∠OBC+∠CBP，
∴∠DPE=∠OBP，
∴△OPB≌△EDP，
∴OB=PE，
∴PE=OA=OC，
∴PE=

1

2

AC，

（3）如（1）中的圖，作斜邊AC的中線(xiàn)BO，
∵等腰直角三角形ABC，AB=BC=4，
∴OB=OC=OA=2

2

，
∵AP=1，
∴OP=2

2

-1，
∵Rt△BOP≌Rt△PDE，
∵ED⊥AC，
∴∠EDC=∠OBC=OBA∠=45°，
∴△DCE為等腰直角三角形，
∴PE=OB=2

2

，DE=CE=OP=2

2

-1，
∵S_{四邊形PBDE}=S_△BPO+S_△BOC-S_△CDE
=

2 2 (2 2 -1)

2

+

2 2 • 2

2

-

(2 2 -1)2

2

=

3

2

．
故答案為：PE=

1

2

AC，

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形斜邊上的中線(xiàn)的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意推出△OPB和△EDP全等及相關(guān)邊的長(zhǎng)度．